Złamane wyrażenia

Ułamek to ułamek, który ma wielomian zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Zazwyczaj staramy się uprościć wyrażenie ułamkowe do krótszego, ładniejszego wyrażenia.

Podstawy

Po raz kolejny wyrażenie ułamkowe ma następującą postać:

$$\frac{\mbox{ wieloczęściowy }}{\mbox{ wieloczęściowy }}$$

Przykładem wyrażenia ułamkowego może być następujące wyrażenie:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Wyzwaniem jest więc uproszczenie tego wyrażenia. Podczas upraszczania używamy tych samych technik, których używamy podczas modyfikowania wielomianów, więc będziemy używać takich rzeczy jak wycie i różne przydatne formuły. Następna sekcja podsumowuje najczęściej używane modyfikacje.

Wyrażenie ułamkowe powinno zawierać jakąś zmienną w mianowniku; na przykład nie mówimy, że jest to wyrażenie ułamkowe:

$$\frac{2x+3}{2}$$

W przypadku wyrażenia ułamkowego zwykle określamy również warunki, w których wyrażenie ułamkowe ma sens. W przypadku wyrażenia ułamkowego mianownik nie może być równy zero, ponieważ, jak wiemy, nie jest on podzielny przez zero.

Techniki

Istnieje wiele technik, których używamy podczas modyfikowania wyrażeń, więc postaram się podsumować niektóre z nich. Po pierwsze, istnieje obcinanie ułamków. Jeśli więc mamy wyrażenia zarówno w liczniku, jak i mianowniku, które właśnie mnożymy, możemy je skrócić:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Tutaj skróciliśmy zmienną a. Jeśli ułamek wyglądałby tak

$$\frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$$

wtedy nie możemy skrócić. Licznik jest w sumie, więc obcinanie jest niedozwolone. Często zdarza się, że nawet jeśli mianownik lub licznik ułamka jest w postaci sumy, możemy coś zrobić w wyrażeniu, a następnie możemy skrócić. Na przykład w ułamku

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

mamy licznik w postaci sumy, ale możemy wydrukować a, a następnie skrócić.

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Powszechną modyfikacją jest również rozkładanie czegoś według jakiegoś wzoru. Powyżej mieliśmy wyrażenie ułamkowe

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Jeśli zastosujemy wzór do licznika

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

otrzymamy nowe wyrażenie ułamkowe

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

i tutaj możemy obciąć cały nawias (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Następnie oczywiście różne dodawanie i mnożenie wielomianów, dopasowywanie potęg, dodawanie ułamków itp.

Pierwszy przykład

Przykładowe zadanie:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Widzimy, że w liczniku i mianowniku możemy odstawić dwójkę, którą następnie możemy obciąć:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

W liczniku możemy również wypisać trójkę:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Możemy obciąć całe wyrażenie a + 2b i pozostanie nam trójka:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$$

Wyrazy tego ułamkowego wyrażenia:

$$a+2b\ne0$$

Drugi przykład

Przykład Przypisanie:

$$\left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

W pierwszym kroku odejmujemy ułamki w nawiasach wewnętrznych:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

Następnie mnożymy nawiasy w mianowniku. Bystrzy uczniowie mogą zauważyć, że możemy zastosować wzór a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$

W mianowniku pierwszego ułamka mamy to samo wyrażenie, co w liczniku drugiego ułamka, a ponieważ mnożymy te ułamki, możemy użyć tego wyrażenia do mnożenia:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Teraz musimy zastosować trochę zgrubnej pracy i pomnożyć oraz dodać nawiasy w liczniku, a na koniec po prostu pomnożyć:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Określimy warunki zgodnie z zadaniem. W sumie mamy trzy ułamki, żaden z mianowników nie może być równy zero.

$$\begin{eqnarray} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray}$$

Trzeci przykład

Wprowadzenie kolejnego wyrażenia ułamkowego:

$$\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$$

Czyli najpierw znowu nudne dodawanie i odejmowanie wyrażeń w nawiasach. Pierwsza różnica będzie łatwa, ponieważ oba ułamki mają ten sam mianownik.

$$\left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Mnożymy i dodajemy wyrażenia w licznikach:

$$\left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

W pierwszym ułamku obcinamy zmienną b i rozszerzamy dwójkę o a, aby móc dodać ją do pierwszego ułamka:

$$\left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Dodajemy ułamki w pierwszym nawiasie, a w drugim ułamku odkładamy a w liczniku.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Teraz możemy skrócić a:

$$\frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Teraz po prostu mnożymy wyrażenie po lewej stronie przez ułamek.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Z pierwszego nawiasu wybierzemy dwójkę:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Teraz możemy obciąć (1 + a) (to samo wyrażenie w mianowniku, tylko w odwrotnej kolejności a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

I to jest ostateczne uproszczone wyrażenie ułamkowe, nie ma nic sensownego do zrobienia z tym wyrażeniem. Warunki:

$$\begin{eqnarray} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Dzielenie wielomianów

Wyrażenia ułamkowe można również rozwiązywać za pomocą algorytmu dzielenia wielomianów przez wielomiany. Może to być wygodne, gdy nie można użyć klasycznych sposobów modyfikacji wyrażeń.