Liczenie z procentami

Procenty zwykle odnoszą się do jakiejś względnej części całości, przy czym sama całość wyrażona jest jako 100%. Procenty zawsze można przekształcić w ułamek.

Procenty jako część całości

Procentów używamy, gdy chcemy wyrazić część całości. Procenty można zastąpić wyrażeniami takimi jak "jedna czwarta klasy dostała F" lub "co druga osoba jest mężczyzną". Zawsze mamy całość, na przykład całą klasę uczniów, i mówimy, że jedna czwarta z nich dostała piątkę. Jeśli w klasie jest 32 uczniów i jedna czwarta z nich dostała piątkę, to całkowita liczba uczniów, którzy dostali piątkę będzie równa:

$$ \frac{1}{4}\cdot 32 = 8\quad \mbox{ co jest tym samym co }\quad \frac{32}{4}=8 $$

W drugim przypadku możemy mieć miasto, powiedzmy Opawę. Ma ono około 60 000 mieszkańców. Jeśli co drugi mieszkaniec jest mężczyzną, oznacza to, że połowa z nich to mężczyźni:

$$ \frac{1}{2}\cdot 60, 000 = 30, 000 \quad \mbox{ co jest tym samym co }\quad \frac{60{,}000}{2}=30{,}000 $$

Następnie moglibyśmy powiedzieć, że "co setna osoba w Opawie jest matematykiem". Wtedy byłoby prawdą, że mamy $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ matematyków w Opawie. "Co setny" to to samo, co "jedna setna populacji".

Teraz możemy wprowadzić pojęcie procentu. Jeden procent, oznaczany przez nas jako 1%, oznacza jedną setną całości. Oznacza to, że gdy mówimy, że "co setna osoba w Opawie jest matematykiem" i "jeden procent ludzi w Opawie jest matematykami", mówimy to samo. Obliczamy jeden procent całości, mnożąc całość przez $\frac{1}{100}$ lub dzieląc przez 100, co jest tym samym.

Możemy łatwo zamienić procenty na ułamki i pracować z nimi dalej. Jeśli powiemy, że "w Opawie, x % ludzi ma ciemne włosy", to jest to to samo, co powiedzenie "w Opawie, $\frac{x}{100}\cdot60,000$" ludzie mają ciemne włosy. 100% reprezentuje całość, tj. wszystkich mieszkańców. Zdanie "100% uczniów zdało do następnej klasy" oznacza, że wszyscy uczniowie zdali. Zdanie "0% uczniów nie zdało" oznacza, że nikt nie zdał. Przykłady:

1. 35 % mieszkańców Opawy jeździ autobusami. Ile osób jeździ autobusami? 35 % to tyle samo co $\frac{35}{100}$ całości (= "trzydzieści pięć setnych całości"). Obliczmy: $\frac{35}{100}\cdot 60,000$ Można to łatwo obliczyć, dzieląc 60 000 przez 100 i mnożąc ten wynik przez 35. Zasadniczo dokonujemy tej korekty:

   $$ \frac{35}{100}\cdot 60{,}000 = \frac{35\cdot60{,}000}{100}=\frac{35\cdot600}{1}=35\cdot600=21{,}000 $$

   Możemy myśleć o tym jako o pierwszym obliczeniu populacji, która odpowiada jednemu procentowi: $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ Jeden procent odpowiada 600 mieszkańcom. Chcemy znać 35 mieszkańców, więc mnożymy 600 mieszkańców przez 35 · 600 = 21,000.

2. Thomas zarabia średnio 500 koron dziennie. Dziś zarabia tylko 75% swojej średniej płacy. Ile zarabiał Thomas? Procedura jest wciąż taka sama. Całość wynosi 500, a 75% zamieniamy na ułamek $\frac{75}{100}$. Możemy dalej zredukować ten ułamek do ułamka $\frac{3}{4}$. Mnożymy całość przez ten ułamek:

   $$ \frac{3}{4}\cdot500=\frac{3\cdot500}{4}=3\cdot125=375 $$

3. Następnego dnia Tomasz poprawił swój apetyt i zarobił 150% swojej średniej płacy. Ile zarobił? Czy możemy mieć więcej niż 100%, skoro powiedzieliśmy, że 100% reprezentuje całość? Tak, może. Tak jak ktoś może zarobić "trzykrotność średniej", tak ktoś może zarobić 150% swojej średniej.

   Zrobimy dokładnie to samo: zamienimy 150% na ułamek $\frac{150}{100}$ i pomnożymy średnią pensję Thomasa przez ten ułamek, czyli 500:

   $$ \frac{150}{100}\cdot500=\frac{150\cdot500}{100}=\frac{150\cdot5}{1}=150\cdot5=750 $$

Procenty jako trójmian

Możemy łatwo przekonwertować część całości podaną w procentach na trójmian. Pozostańmy przy Thomasie, który zarabia średnio 500 koron dziennie, a dziś zarobił 75% swojej średniej pensji. W rzeczywistości możemy zapisać to w ten sposób, używając wzoru trójskładnikowego:

\begin{eqnarray} 100% &\quad\ldots\quad&500 \mbox{ coronas } \75% &\quad\ldots\quad&x \mbox{ coronas } \end{eqnarray}

Ponieważ jest to proporcja bezpośrednia, otrzymujemy postać:

$$ \frac{75}{100} = \frac{x}{500} $$

Mnożymy równanie przez 500 i mamy:

$$ \frac{75\cdot500}{100}=x $$

Stąd możemy łatwo obliczyć wynik:

\begin{eqnarray} \frac{75\cdot500}{100}&=&x\ \frac{75\cdot5}{1}&=&x\ x&=&75\cdot5}&&=&375 \end{eqnarray}

Widzimy, że otrzymaliśmy tę samą liczbę.

Co jeśli znamy część, a nie znamy całości?

W poprzednich przykładach zawsze zakładaliśmy, że znamy dokładną wartość całości i musieliśmy obliczyć pewien ułamek, podany w procentach. Ale co, jeśli znamy tę część, a nie znamy całości? Przykład: Thomas ma 120 magicznych kart z wielkim zielonym potworem. Jednak mimo że jest to spora liczba kart z zielonym potworem, nadal ma tylko sześćdziesiąt procent kart w porównaniu do Jany. Ile kart ma Jana?

Tutaj znamy część, ale nie znamy całości - musimy to jeszcze obliczyć. W tej chwili wiemy, że 120 kart odpowiada 60% kart posiadanych przez Janę. Aby dowiedzieć się, ile kart odpowiada jednemu procentowi, wystarczy podzielić sto dwadzieścia przez 60. Otrzymamy dwa 120/60 = 2. Jeden procent kart to w rzeczywistości dwie karty z zieloną twarzą. Ponieważ liczymy całość - która zawsze wynosi 100% - mnożymy tę liczbę kart przez sto. I mamy 200 kart, co jest prawidłowym wynikiem.

Możemy to sprawdzić, licząc 60% z 200: wystarczy pomnożyć

$$\frac{60}{100}\cdot200=\frac{3}{5}\cdot200=3\cdot40=120$$

Widzimy, że 60% z 200 to 120, czyli dokładnie tyle, ile kart zielonych potworów ma Thomas.

Sumowanie wartości procentowych

Jeśli musimy obliczyć przykład, w którym występują procenty, zawsze najlepiej jest obliczyć dokładne wartości zamiast procentów, a następnie je zsumować. Zadanie może więc wyglądać mniej więcej tak: Martin zarabia 15 000, Stanislav 20 000, a Lucy 25 000 koron. Teraz oblicz, ile koron zarabia Simona, która zarabia 30% tego, co zarabia Martin, plus 40% tego, co zarabia Stanislav, plus 25% tego, co zarabia Lucka.

Mamy tu trzy wyrażenia z procentami, ale każde wyrażenie pochodzi z innej całości. Martin, Stanislav i Lucka zarabiają różne kwoty pieniędzy. Najpierw obliczymy 30% wynagrodzenia Marcina. To daje 15 000/100 = 150. Następnie mnożymy przez 150 · 30 i otrzymujemy 4 500. Następnie 40% wynagrodzenia Stanisława. To 20 000/100 = 200. Ponownie mnożymy przez 40 i otrzymujemy 200 · 40 = 8 000. Ostatnia część to 25% wynagrodzenia Lucy. Zarabia ona 25 000, z czego jeden procent to 25 000/100 = 250. Mnożąc przez 25, otrzymujemy 250 · 25 = 6 250. Teraz sumujemy wszystkie częściowe wyniki: 4 500 + 8 000 + 6 250 = 18 750. Simona zarabia 18 750 koron, co jest całkiem niezłym dochodem.

Może się jednak zdarzyć, że zsumujemy wartości procentowe. Procenty możemy dodawać tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę, tę samą całość. Na przykład, jeśli Kuba zarobił 20% tego, co Stanisław, plus 30% tego, co Stanisław, możemy dodać te procenty do siebie, ponieważ mają tę samą podstawę - oba wyrażenia liczą podstawową pensję Stanisława. Wynikiem będzie więc 20% + 30% = 50%. Kuba zarabia połowę tego, co Stanisław, czyli dziesięć tysięcy.

Trudne kaskadowe dodawanie wartości procentowych

Teraz wyobraźmy sobie następującą sytuację: Milan zarobił 10 000 w pierwszym roku. Ale w drugim roku dostał podwyżkę i jego pensja wzrosła o 30%. W kolejnym, trzecim roku, znów dostał podwyżkę i znów podniesiono mu pensję, choć tym razem tylko o 10%. Pytanie brzmi, jaka jest teraz pensja Milana?

Tego typu przykład sprawia, że bardzo kuszące jest sumowanie procentów, tak jak w poprzednim przypadku. W końcu wciąż - pozornie - liczymy na tej samej podstawie, pensji Milana. Obliczamy więc 30% + 10% i dodajemy to do jego wynagrodzenia podstawowego. Milan zarobiłby wtedy 14 000 koron. Ale to nie jest tak. Przeanalizujmy to.

W pierwszym roku otrzymał 10 000 koron. W drugim roku dostał 10 000 + 30%. To daje 13 000, jak już obliczyłeś. A teraz, w następnym roku, dostanie dziesięcioprocentową podwyżkę. Ale uwaga! Podstawą nie jest już 10 000, które miał w pierwszym roku. Podstawa wynosi teraz trzynaście tysięcy! A jak wiemy, procenty możemy dodawać tylko wtedy, gdy są one obliczane na tej samej podstawie. A w naszym przypadku podstawa jest inna. Za pierwszym razem było to 10 000, a teraz jest to 13 000. W zeszłym roku Milan otrzymał więc 13 000 + 10%, czyli 14 300.

Rozwiązanie z 14 000 było błędne i oszukaliśmy biedny Milan na 300 koron. Nie bądź niemiły dla Milana!

Kup książkę do matematyki ze zniżką!

Klasyczny przykład również jest przeceniony. Wyobraź sobie, że w sklepie jest podręcznik do matematyki, który bardzo chciałbyś dostać od Ojca Świętego na urodziny. W końcu co innego też byś chciał, prawda? :-)

Ale przed Bożym Narodzeniem książka jest droższa, o 20 %. Mówisz sobie, że mimo wszystko poczekasz i kupisz ją po świętach. Postąpiłeś słusznie, ponieważ sklep obniżył cenę książki po świętach o 20 %. Pytanie brzmi - czy książka jest warta tyle samo, co przed opóźnieniem? A może kosztuje więcej/mniej?

Ponownie, zdrowy rozsądek niektórych ludzi dyktuje, że książka będzie kosztować tyle samo, ale to nieprawda. Policzmy. Załóżmy, że książka kosztuje 300 koron. Wzrost ceny o 20% oznacza, że książka jest droższa o $\frac{20}{100}\cdot300=60$ koron. Książka kosztuje więc 360 koron.

Ale rabat 20% nie jest już obliczany na podstawie 300, ale na podstawie 360! Oznacza to, że książka będzie tańsza o $\frac{20}{100}\cdot360=72$ koron. Po rabacie książka kosztuje 288 koron.

(Ale kto by kupował podręcznik do matematyki, skoro jest Matematyka za pół ceny ;-)).

Promile

Promile są najczęściej używane do pomiaru zawartości alkoholu we krwi kierowcy. Niektórzy błędnie uważają, że promil to tysięczna część procenta, ale to błąd, uważaj. Promil to tysięczna część całości. W przeciwnym razie promile są traktowane dokładnie tak samo jak procenty. Jeśli chcesz znaleźć x promile z 5000, obliczasz je jako $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Zamiast 100, 1000 jest w mianowniku ułamka. Tak więc trzy promile z 5000 to $\frac{3}{1000}\cdot5000=3\cdot5=15$.

Promile są oznaczane symbolem ‰. Tak więc, $x ‰ = \frac{x}{10} %$.

Więcej w osobnym artykule na temat promili.

Typografia procentów

Istnieje różnica między pisaniem "100%" (ze spacją) i "100%" (bez spacji). Wersja ze spacją oznacza "sto procent", podczas gdy wersja bez spacji oznacza "sto procent". Pamiętaj o tym podczas pisania i nie ekscytuj się zbytnio na wypadek, gdyby gazeta się pomyliła :-).

Punkt procentowy

Oprócz zwykłych wartości procentowych, możemy jeszcze używać punktów procentowych. Jaka jest różnica między nimi? Wyobraź sobie, że dwa lata temu przeglądarka Firefox była używana przez 20 % osób, ale w tym roku korzysta z niej 30% osób. Jaki jest wzrost między tymi dwoma latami? Błędem byłoby stwierdzenie, że wzrost wynosi 10%. Jeśli Firefox był najpierw używany przez 20% osób, a następnie przez 30%, oznacza to, że obecnie korzysta z niego o połowę więcej osób niż wcześniej. To wzrost o 50%.

Ale z drugiej strony, trochę głupio jest mówić, że nastąpił wzrost o 50%, gdy dla wszystkich byłoby jaśniej powiedzieć, że procent wzrósł o dziesięć. Po to właśnie mamy punkty procentowe. W tym przypadku możemy powiedzieć, że wzrost użycia Firefoksa wynosi dziesięć punktów procentowych. Możemy użyć punktów procentowych, gdy chcemy wyrazić prostą różnicę między dwoma wartościami procentowymi.