Trójmian
Trójmian jest używany w prostych obliczeniach proporcji bezpośrednich i odwrotnych. Zazwyczaj znamy trzy współzależne liczby i musimy obliczyć czwartą. W przypadku trójmianu musimy dokładnie rozróżnić proporcję bezpośrednią i pośrednią, ponieważ mają one różne obliczenia.
Motywacja
Idziesz do sklepu, aby kupić zapas lemoniady. Kupiłeś 5 butelek lemoniady za 100 koron. Ile lemoniad kupiłbyś, gdybyś miał 200 koron? Jest to typowy przykład, który można rozwiązać za pomocą trójmianu.
W tym momencie możemy przeprowadzić proste rozumowanie - w pierwszym przypadku mieliśmy 100 koron, w drugim przypadku mieliśmy 200 koron. Możemy więc oczekiwać, że jeśli mamy do dyspozycji dwa razy więcej koron, kupimy za nie dwa razy więcej butelek. Kupilibyśmy więc 2 · 5 = 10 lemoniady za 200 koron.
Poprzednie "im więcej... tym więcej" nie jest całkowicie oczywiste, ponieważ możemy mieć następujący przykład: 10 murarzy buduje dom w cztery miesiące. Ile czasu potrzeba 20 murarzom na zbudowanie domu? Jeśli zastosujemy poprzednią procedurę - jest dwa razy więcej murarzy, więc jest dwa razy więcej miesięcy - otrzymamy, że 20 murarzy zbudowałoby dom w 2 · 4 = 8 miesięcy.
To oczywiście nie jest poprawne, ponieważ im więcej murarzy, tym mniej miesięcy zajmie im zbudowanie domu. Musimy więc zrobić to na odwrót: dwa razy więcej murarzy zbuduje dom w dwa razy więcej miesięcy. Daje to poprawny wynik: 20 murarzy buduje dom w 4/2 = 2 miesięcy.
Poprzednie dwie różne procedury również mają swoje nazwy: proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna.
Proporcjonalność bezpośrednia
Jeśli "im więcej... tym więcej" jest prawdziwe, jest to proporcjonalność bezpośrednia. Przykłady:
- Im więcej mamy pieniędzy, tym więcej lemoniady/okularów/skuterów możemy kupić.
- Im więcej artykułów napisze dziennikarz, tym więcej pieniędzy zarobi.
- Im więcej kopią kopacze, tym więcej kopią.
- Im dłużej pozwalamy pompie pompować, tym więcej wody wypompowujemy.
Przykład: Samochód zużywa 6 litrów benzyny na 100 kilometrów. Ile litrów benzyny zużyje po przejechaniu 250 kilometrów? Jest to przykład proporcjonalności bezpośredniej, ponieważ im więcej samochód przejeżdża, tym więcej benzyny zużywa.
Procedura. Używamy poniższej tabeli, aby wyjaśnić, co wiemy i co chcemy obliczyć:
$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru } \end{eqnarray}$$
W pierwszym wierszu zapisaliśmy dane, które znamy w całości. W drugim wierszu mamy po prawej stronie dane, których nie znamy, a po lewej stronie dane, dla których chcemy obliczyć niewiadomą. Kolumny muszą zawsze zawierać te same dane, w tym przypadku kolumna musi zawsze zawierać kilometry lub litry.
Istnieje narzędzie, które pomoże Ci obliczyć ten przykład. Najpierw narysuj strzałkę od dołu do góry po prawej stronie, jak poniżej:
$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Jeśli jest to proporcja bezpośrednia, narysuj tę samą strzałkę po lewej stronie, od dołu do góry:
$$\begin{eqnarray} \quad100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litru }\\ \uparrow\quad250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litru }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
W następnym kroku skonstruuj ułamki z kolumn w kierunku strzałek. W ten sposób licznik odpowiada liczbie, od której zaczyna się strzałka, a mianownik liczbie, na której kończy się strzałka. Stawiamy te ułamki w równości. W ten sposób otrzymujemy ułamek $\frac{250}{100}$ z pierwszej kolumny (kilometry) i ułamek $\frac{x}{6}$ z drugiej kolumny (litry):
$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$
Jest to zwykłe równanie liniowe, które możemy rozwiązać za pomocą równoważnych modyfikacji. Mnożymy całe równanie przez sześć, aby pozbyć się ułamka po prawej stronie:
$$6\cdot\frac{250}{100}=x$$
Teraz pozostaje nam tylko obliczyć x:
$$x=6\cdot\frac{250}{100}=6\cdot\frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$
Wynik jest taki, że samochód zużywa 15 litrów benzyny po przejechaniu 250 kilometrów.
Odwrotna proporcjonalność
Jeśli "im więcej... tym mniej" jest prawdziwe, jest to odwrotna proporcjonalność. Przykład:
- Im więcej stron książki przeczytaliśmy, tym mniej stron zostało nam do końca.
- Im szybszy internet, tym szybciej pobieramy film.
- Im szybciej jedziemy samochodem, tym szybciej docieramy do celu.
- Im więcej robotników pracuje przy budowie domu, tym szybciej zostanie on zbudowany.
Przykład: masz internet o prędkości 2 MB na sekundę na swoim komputerze i pobrałeś nagranie koncertu Dada Patras w 450 sekund. Ile czasu zajęłoby ci pobranie tego samego koncertu, gdybyś miał 6 MB na sekundę?
Procedura będzie taka sama jak w przypadku proporcji bezpośredniej - zapiszemy dane w tabeli:
$$\begin{eqnarray} 2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ Sekundy }\\ 6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ Sekundy } \end{eqnarray}$$
Teraz strzałki. Strzałka w prawo będzie ponownie od dołu do góry, nic się tutaj nie zmienia. Ale ponieważ jest to odwrotna proporcja, lewa strzałka pójdzie w przeciwnym kierunku, od góry do dołu.
$$\begin{eqnarray} \quad2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ Sekundy }\\ \downarrow\quad6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ Sekundy }\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Następny krok jest taki sam - utworzymy ułamki z tej tabeli, ponownie zgodnie z kierunkiem strzałek. W ten sposób otrzymamy ułamki $\frac26$ i $\frac{x}{450}$, które zrównamy:
$$\frac26=\frac{x}{450}$$
Pomnóż równanie przez 450:
$$450\cdot\frac26=x$$
I obliczymy x:
$$x=450\cdot\frac26=450\cdot\frac13=\frac{450}{3}=150$$
Możemy pobrać Dada Patras z szybszym połączeniem w 150 sekund.
Zauważ, że procedura jest zgodna z intuicją. W ostatnim kroku dzielimy 450 przez trzy, co jest oczekiwane. Zwiększając prędkość z 2 MB/s do 6 MB/s, mamy trzykrotnie większą prędkość. Dlatego też oczekiwalibyśmy, że czas potrzebny na pobranie filmu będzie trzy razy mniejszy $\rightarrow$ i dokładnie to wyraża ułamek $\frac{450}{3}$.
Przykłady
Pierwszy przykład: pokój w luksusowym hotelu kosztuje dziesięć tysięcy pięćset koron za siedem nocy. Ile kosztowałby ten sam pokój, gdybyśmy chcieli pojechać tam na dwanaście dni?
Pierwszą rzeczą do zrobienia jest zapisanie liczb w tabeli:
$$\begin{eqnarray} 7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ korony }\\ 12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ korony } \end{eqnarray}$$
Teraz musimy zdecydować, czy jest to zależność bezpośrednia, czy odwrotna. Czy prawdą jest, że im dłużej zostajemy, tym mniej płacimy? Nie, jest odwrotnie - im dłużej zostajemy, tym więcej płacimy. Jest to więc bezpośrednia proporcja. Uzupełnijmy strzałki:
$$\begin{eqnarray} \quad7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ korony }\\ \uparrow\quad12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ korony }\qquad\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Użyj strzałek, aby utworzyć ułamki:
$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10{,}500}$$
Obliczmy równanie:
$$\begin{eqnarray} \frac{12}{7}&=&\frac{x}{10{,}500}\\ 10{,}500\cdot\frac{12}{7}&=&x\\ x&=&10{,}500\cdot\frac{12}{7}\\ x&=&\frac{10{,}500\cdot12}{7}\\ x&=&18{,}000 \end{eqnarray}$$
Pokój na 12 dni kosztowałby nas 18 000 koron.
Drugi przykład: 10 pracowników tymczasowych zbiera truskawki i zbiera 50 kilogramów truskawek dziennie. Ile kilogramów truskawek zbiera 7 pracowników tymczasowych dziennie?
Zapiszmy dane w tabeli:
$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ Brig }&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ 7\mbox{ Brig }&\quad…\quad&x\mbox{ kg} \end{eqnarray}$$
Czy jest to zależność bezpośrednia czy odwrotna? W tym przykładzie jest pewna zdrada, ponieważ w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, w wierszu z niewiadomą mamy mniej pracowników niż w pierwszym wierszu. Nie daj się zwieść, nadal jest to bezpośrednia proporcja, ponieważ im więcej pracowników, tym więcej zebranych truskawek. Lub odwrotnie - im mniej pracowników, tym mniej truskawek. Jest to również bezpośrednia proporcja. Obie strzałki będą więc skierowane od dołu do góry.
$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ Brig }&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ \uparrow\quad7\mbox{ Brig }&\quad…\quad&x\mbox{ kg}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Utworzymy ułamki:
$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$
i obliczymy x:
$$\begin{eqnarray} \frac{7}{10}&=&\frac{x}{50}\\ 50\cdot\frac{7}{10}&=&x\\ x&=&50\cdot\frac{7}{10}\\ x&=&5\cdot7\\ x&=&35 \end{eqnarray}$$
Siedmiu pracowników tymczasowych zbiera 35 kg truskawek dziennie.
Przykład 3: Średnia długość kroku Jerzego wynosi 80 cm. W drodze ze szkoły do domu Jerzy policzył, że zrobił 1300 kroków. Ile kroków wykonałby, gdyby jego długość kroku była taka sama?
Najpierw tabela. Zauważ, że w zadaniu mamy 80 cm i metr. Jednak w tabeli musimy mieć dane w tej samej jednostce, więc zamiast jednego metra użyjemy 100 cm - możemy też wybrać odwrotność i napisać 1 metr i 0,8 metra.
$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ krok }\\ 100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ krok } \end{eqnarray}$$
A jaka jest proporcja? Prawdą jest, że im dłuższy krok, tym mniej kroków potrzebujemy, aby pokonać określoną odległość, więc jest to odwrotna proporcja. Strzałka w lewo będzie od góry do dołu, a strzałka w prawo od dołu do góry.
$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ krok }\\ \downarrow\quad100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ krok }\qquad\uparrow \end{eqnarray}$$
Ułamki będą wyglądać następująco:
$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$
Wyodrębniamy i obliczamy x:
$$\begin{eqnarray} \frac{80}{100}&=&\frac{x}{1300}\\ 1300\cdot\frac{80}{100}&=&x\\ x&=&1300\cdot\frac45\\ x&=&\frac{1300\cdot4}{5}\\ x&=&1040 \end{eqnarray}$$
George potrzebowałby tylko 1040 kroków, aby przejść ten sam dystans.
Wzór
Jak widać z poprzednich obliczeń, procedury są zawsze takie same i prowadzą do prostych wzorów. Najpierw zapiszmy tabelę symbolicznie:
$$\begin{eqnarray} a&\quad…\quad&b\\ c&\quad…\quad&x \end{eqnarray}$$
Następnie stosuje się następujące wzory. Dla proporcjonalności bezpośredniej:
$$x=b\cdot\frac{c}{a}$$
A dla proporcjonalności odwrotnej:
$$x=b\cdot\frac{a}{c}$$