Liczby naturalne
Liczby naturalne to najczęściej spotykane liczby w życiu codziennym. Są to liczby całkowite dodatnie, czyli liczby 1, 2, 3, 4, ...
Oznaczenie
Liczby naturalne to zbiór zawierający dodatnie liczby całkow ite 1, 2, 3, 4, ... Zwykle oznaczamy ten zbiór literą N z podwojonym pierwszym członem, jak poniżej: ℕ Pochodzi od angielskiego "naturals".
Czasami zakładamy, że zbiór liczb naturalnych zawiera również zero. Jeśli musimy to rozróżnić, zwykle używamy klasycznego ℕ dla zbioru bez zera, a jeśli chcemy również zera, dodajemy zero do indeksu w następujący sposób: ℕ0 Często używamy wtedy jeszcze znaku plus, aby podkreślić, że liczymy liczby naturalne bez zera $\mathbb{N}^+$.
Liczb naturalnych używamy głównie do określania ilości czegoś ("mamy trzy krzesła w domu", "w parku jest trzydzieści ławek", ...) oraz do określania kolejności ("pierwszy człowiek na Księżycu", "Kanada jest drugim co do wielkości krajem na świecie", ...).
Właściwości
Liczby naturalne mają kilka interesujących właściwości:
- Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, ale jest policzalny, możemy je wszystkie ułożyć w ciąg.
- Liczby naturalne są zamknięte na operacje dodawania i mnożenia. Oznacza to, że jeśli pomnożymy lub dodamy dowolne dwie liczby naturalne, otrzymamy ponownie liczbę naturalną.
- Nie są one zamknięte na odejmowanie, ponieważ jeśli odejmiemy większą liczbę od mniejszej, otrzymamy liczbę ujemną.
- Podobnie, nie są one zamknięte dla dzielenia, na przykład 7/2 nie jest liczbą naturalną.
Dzielenie z resztą
W poprzednim rozdziale widzieliśmy, że liczby naturalne nie są domknięte względem dzielenia. Możemy jednak zdefiniować operację dzielenia z resztą, którą na pewno wszyscy znamy. Jeśli podzielimy 7/2, otrzymamy 3,5. Jeśli użyjemy dzielenia z resztą, otrzymamy wynik 3 i resztę 1. Jeśli więc pomnożymy 3 · 2 i dodamy resztę, otrzymamy 7: 3 · 2 + 1 = 7.
Podczas gdy liczby naturalne nie są zamknięte w odniesieniu do tej operacji, liczby naturalne zawierające zero są. Zatem zarówno wynik, jak i reszta będą zawarte w zbiorze ℕ0.
Definicja dzielenia z resztą wygląda następująco:
$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$
W definicji dzieliliśmy a:b, liczbę r nazywamy resztą po dzieleniu, a q wynikiem dzielenia. Co oznaczają te terminy? Zakładamy, że jesteśmy w zbiorze liczb naturalnych zawierającym zero, ale ponieważ nie możemy dzielić przez zero, wybieramy b ze zbioru bez zera.
Tak więc dla przykładu, aby obliczyć 19:5, poprawne byłyby a = 19 i b = 5. Rozkład wyglądałby następująco:
$$19=5\cdot3+4$$
q = 3, czyli wynik po dzieleniu, oraz r = 4, czyli reszta.