Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie to najbardziej podstawowe operacje matematyczne, których ludzie potrzebują nawet w życiu codziennym. Chociaż możemy dodawać wiele różnych struktur, tutaj zajmiemy się tylko dodawaniem liczb całkowitych.

Dodawanie

Operacja dodawania jest oznaczana znakiem plus +. Ponadto dodajemy dodatki, więc jeśli chcemy dodać 2 + 3, to zarówno dwa, jak i trzy są nazywane dodatkami. Wynik jest wtedy sumą, więc piątka w wyrażeniu 2 + 3 = 5 jest sumą.

Możemy dodawać praktycznie dowolne liczby, zarówno liczby naturalne, takie jak 1, 5, 157, jak i liczby ujemne, takie jak -4, -74. Możemy również dodawać liczby wymierne lub ułamki, liczby rzeczywiste, takie jak π i wreszcie liczby zespolone. Możemy również dodawać inne struktury - macierze lub wektory.

Dodawanie jest zwykle wyjaśniane za pomocą stosu jabłek - jeśli masz trzy jabłka w koszyku, a ktoś da ci jeszcze cztery jabłka, ile jabłek ci zostanie? Zostanie 3 + 4 = 7.

Jak dodawać duże liczby

Gdybym dał ci zadanie dodania 17564 i 3272, prawdopodobnie nie byłbyś w stanie określić wyniku. Właśnie dlatego używasz kalkulatora lub ołówka i kartki papieru. Nie zamierzam uczyć Cię, jak wpisać to do kalkulatora, skupmy się na procesie na papierze.

Zapisz liczby, które chcesz dodać, jedna pod drugą i wyrównaj je w prawo - tak, aby te same rzędy (dziesiątki, setki, ...) znajdowały się jedna pod drugą. Zrób poziomą linię pod obiema liczbami. Będzie to wyglądać następująco:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline \end{array}$$

Teraz dodamy liczby, które znajdują się pod sobą. Jeśli suma liczb jest mniejsza niż dziesięć, po prostu zapisujemy sumę poniżej linii. Kontynuujemy od prawej strony, zaczynając od najmniejszego rzędu. Najpierw dodajemy 4 + 2, co daje sześć. Sześć jest mniejsze od dziesięciu, więc zapisujemy liczbę sześć poniżej linii:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&&6 \end{array}$$

Przechodząc dalej, dodajemy 6 + 7. To równa się 13, która jest już większa niż dziesięć. W tym momencie po prostu piszemy cyfrę w pozycji jednostek poniżej linii, czyli piszemy trójkę (odejmujemy dziesiątkę od trzynastki).

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&3&6 \end{array}$$

Co się stało z odciętą jedynką? Co ona reprezentuje? W tej chwili liczymy drugą kolumnę od prawej, która reprezentuje dziesiątki w liczbie. W rzeczywistości dodawaliśmy dziesiątki, tzn. dodawaliśmy 60 + 70 = 130. Postanowiliśmy zachować liczbę 30 i odłożyć 100 na później. Na kiedy? Do następnego kroku, następnej kolumny. W następnym kroku dodajemy cyfry odpowiadające setkom. I mamy jedną dodatkową setkę, którą otrzymaliśmy z dodania dziesiątek. Nie robimy więc nic prostszego niż dodanie tej setki w następnym kroku dodawania.

Zamiast dodawać 5 + 2 w następnym kroku, dodamy 5 + 2 + 1, gdzie jedynka reprezentuje setkę, którą otrzymaliśmy w ostatnim kroku dodawania. Suma wynosi osiem, czyli mniej niż dziesięć. Zapisujemy więc osiem poniżej linii.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&8&3&6 \end{array}$$

Żadna dodatkowa setka nie przechodzi do następnego kroku, więc dodajemy tylko 7 + 3 = 10. Ta liczba nie jest mniejsza niż dziesięć, więc zapisujemy ostatnią cyfrę poniżej linii, a jedna przechodzi dalej. Zapisujemy więc zero poniżej linii i zachowujemy dodatkowy tysiąc do następnego kroku.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &0&8&3&6 \end{array}$$

W ostatniej kolumnie mamy tylko cyfrę z pierwszego wiersza. W drugim wierszu wpisujemy zero i dodajemy 1 + 0 i nie możemy zapomnieć o dodaniu jedynki z ostatniego kroku: 1 + 0 + 1 = 2 Poniżej wiersza wpisujemy dwójkę.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline 2&0&8&3&6 \end{array}$$

To kończy algorytm i mamy sumę liczb 17564 + 3272.

Animacja procedury dodawania na papierze

Możesz umieścić dwie liczby naturalne w poniższych polach, a następnie po prostu cieszyć się animacją całej procedury.

Graficzna reprezentacja dodawania

Dodawanie możemy przedstawić graficznie na linii liczbowej. Linia liczbowa jest linią prostą, na której naniesione są wszystkie liczby. Może ona wyglądać następująco:

Gdybyśmy chcieli zilustrować dodawanie dwóch liczb, na przykład 3+4, na tej linii liczbowej, wykonalibyśmy następujące czynności: Narysowalibyśmy linię zaczynającą się w punkcie początkowym, zero, i kończącą się na trzy. Podczas dodawania kierujemy linię w prawo od punktu początkowego. Na przykład tak:

Teraz narysujemy czwórkę na linii liczbowej. Ale w tym momencie zaczynamy od liczby trzy i stamtąd bierzemy odcinek linii na prawo od czwórki. Zaczynamy:

Punkt, w którym kończy się druga, zielona linia, reprezentuje ostateczny wynik: 3 + 4 = 7.

Odejmowanie

Odejmowanie jest operacją odwrotną do dodawania. Jeśli dodamy liczbę b do pewnej liczby a i odejmiemy liczbę b, otrzymamy z powrotem liczbę a. Procedurę pokażemy na przykładzie 158 748 − 99 57. Podobnie jak w przypadku dodawania, zapiszemy te liczby jedna pod drugą:

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline \end{array}$$

Wynik zapiszemy pod linią, tak jak w przypadku dodawania. Postępujemy od prawej strony, zaczynając od najmniejszych wierszy. Najpierw policzymy jednostki. Jeśli górna liczba nie jest mniejsza od dolnej, zapisujemy różnicę górnych liczb − pod linią (lub odwrotnie - jeśli dolna liczba jest mniejsza lub taka sama, możemy bezpiecznie odjąć). Zamiast jednostek, górna liczba nie jest mniejsza, więc zapisujemy różnicę 8 − 5 = 3.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&&3 \end{array}$$

Przesuwając się o jedną liczbę w lewo, jesteśmy na miejscu dziesiątek. Tutaj górna liczba jest już mniejsza od dolnej. W tym momencie dodajemy dziesiątkę do liczby górnej, a następnie wykonujemy te same obliczenia: liczba górna + 10 − liczba dolna. Wynik będzie równy 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&7&3 \end{array}$$

W tym momencie pomogliśmy sobie z odejmowaniem dziesiątek poprzez dodanie dziesięciu dziesiątek, więc musimy pomyśleć o tym w następnym kroku. Dziesięć dziesiątek to sto, więc w następnym kroku odejmiemy jeszcze sto. Oznacza to, że dodajemy jedynkę z poprzedniego kroku do dolnej piątki.

W miejsce setek rozwiązujemy więc, czy siedem (górna liczba) jest mniejsze od sześciu (dolna liczba + 1 ). Nie jest, więc możemy wykonać standardową różnicę góra minus dół. Ale nawet z różnicą, musimy dodać jeden do dolnej liczby, więc otrzymujemy 7−(5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&1&7&3 \end{array}$$

Nie przenosimy niczego do następnego kroku, nie musieliśmy pożyczać żadnych wyższych rzędów w tym kroku. Nie dodajemy więc niczego do niczego zamiast tysięcy. Jednak prawdą jest, że ósemka w górnej liczbie jest mniejsza niż dziewiątka w dolnej liczbie, więc będziemy musieli dodać dziesiątkę do górnej liczby. W ten sposób otrzymamy różnicę 8 + 10 − 9 = 9.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&9&1&7&3 \end{array}$$

W następnym kroku przekształcamy jedynkę, dodając ją do dolnej liczby. Dziewięć plus jeden to dziesięć, górna piątka jest mniejsza niż dziesięć. Dodajemy dziesięć do górnej liczby i otrzymujemy różnicę: 5 + 10−(9 + 1) = 5.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Znowu pomogliśmy sobie wyższym rzędem, więc przenosimy jedynkę do następnego kroku. Tam brakuje nam liczby na dole, więc zakładamy zero. Po dodaniu jedynki otrzymujemy wynik jeden. Górna liczba nie jest mniejsza od dolnej (mamy teraz górną liczbę równą dolnej), więc możemy po prostu odjąć: 1 − 1 = 0.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &0&5&9&1&7&3 \end{array}$$

I mamy wynik. Możemy usunąć zero na początku i napisać: 158 748 − 99 575 = 59 173.

Graficzna reprezentacja odejmowania

Odejmowanie, podobnie jak dodawanie, można wyrazić na linii liczbowej. Jedynie podczas kreślenia linii zmieniamy jej kierunek. Nie nanosimy linii na prawo od bieżącego punktu, ale na lewo. Jeśli więc chcielibyśmy odjąć 2 − 5, wykonalibyśmy następujące czynności. Najpierw zastosowalibyśmy dwójkę do linii liczbowej, w kierunku dodatnim, ponieważ dwójka jest dodatnia, odejmujemy czwórkę, gdy jest odwrócona.

Teraz umieścimy drugą linię na osi, aby reprezentowała minus pięć. Zaczniemy od punktu, w którym skończyliśmy, czyli od dwójki. Ale narysujemy linię do tyłu, w lewo.