✖

Co to jest 1 + 2 + 5 - 0? Albo o pierwszeństwie mnożenia

Co jakiś czas w mediach społecznościowych krąży zagadka podobna do tej. Jakiej liczbie równe jest to wyrażenie?

$$1+2+5\cdot0=?$$

Policzmy razem:

  • Jeden plus dwa równa się trzy.
  • Trzy plus pięć równa się osiem.
  • I wreszcie, osiem razy zero równa się zero.

Czy policzyłeś ze mną? Niestety, oboje się pomyliliśmy. ‼️‼️‼️ Zapomnieliśmy o klasycznej lekcji szkolnej: mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem. Co to oznacza?

Jeśli mamy zarówno dodawanie, jak i mnożenie w tym samym wyrażeniu, najpierw mnożymy wszystko, co można pomnożyć, a następnie wracamy do dodawania. W naszym przypadku oznacza to, że najpierw mnożymy 5 · 0 i ignorujemy wszystko inne, co mamy w wyrażeniu. Pięć razy zero to zero. Wpisujemy to zero z powrotem do wyrażenia:

$$1+2+5\cdot0=1+2+0$$

Teraz otrzymujemy wyrażenie zawierające tylko dodawanie. To proste, 1 + 2 + 0 jest równe trzy. A więc

$$1+2+5\cdot0=3$$

Inny przykład. Ile to jest równe?

$$1+2\cdot3+4=?$$

Ponownie, zasada jest taka, że najpierw rozwiązujemy mnożenie, a dodawanie zostawiamy w spokoju. Więc najpierw rozwiązujemy 2 · 3, czyli 6:

$$1+2\cdot3+4=1+6+4$$

I teraz mamy tylko dodawanie w wyrażeniu, to proste:

$$1+6+4=11$$

Dlaczego na kalkulatorze wychodzi inaczej?

Jeśli spróbujesz obliczyć te same przykłady na kalkulatorze, możesz uzyskać ten sam zły wynik, co przy pierwszym obliczeniu 1 + 2 + 5 · 0. Jak to możliwe? Istnieją zasadniczo dwie możliwości: albo kalkulator nie zna priorytetów operatorów, albo naciskasz znak równości podczas obliczeń. Jeśli naciskasz przyciski na kalkulatorze w następujący sposób:

  • [jeden] [plus] [dwa] [równa się] -> kalkulator wyświetla 3,
  • [plus] [pięć] [równa się] -> kalkulator wyświetli 8,
  • [razy] [zero] [równa się] -> kalkulator wyświetla 0.

Tak więc w rzeczywistości nie obliczyłeś przykładu, który został wprowadzony powyżej, ponieważ naciskając tam "równa się", obliczyłeś trzy różne niepowiązane wyrażenia zamiast jednego. W ostatnim kroku kalkulator po prostu oblicza wyrażenie "osiem razy zero" i to jest po prostu zero, to jest to, co kalkulator pokazuje poprawnie. Kalkulator nie wie w tym momencie, że wcześniej było jakieś mnożenie, które miałoby pierwszeństwo.

Jeśli nie naciskasz "równa się", ale obliczyłeś cały przykład jako

  • [jeden] [plus] [dwa] [plus] [pięć] [razy] [zero]

a kalkulator nadal wyświetla zero, oznacza to, że kalkulator nie zna priorytetu operatorów, co jest całkowicie możliwe. W takim przypadku możesz sprawdzić obliczenia na Seznam lub Google, ponieważ są one dobre w obliczeniach oprócz wyszukiwania:

Jak zmienić naturalne pierwszeństwo operatorów: nawiasy

Jeśli chcemy zmienić pierwszeństwo operatorów, możemy użyć do tego nawiasów. Jeśli mamy wyrażenie

$$1+2\cdot5$$

i chcielibyśmy najpierw dodać 1 + 2, a następnie pomnożyć wynik przez pięć, możemy użyć nawiasów, aby zrobić to w następujący sposób:

$$(1 + 2) \cdot5$$

Wyrażenia w nawiasach mają pierwszeństwo przed normalnym pierwszeństwem operatora. Obliczylibyśmy więc najpierw 1 + 2, a mnożenie pozostawilibyśmy bez zmian. Otrzymalibyśmy:

$$(1 + 2) \cdot5 = 3 \cdot5$$

co jest równe piętnaście. A więc

$$(1 + 2) \cdot5=15.$$

A co z dzieleniem i odejmowaniem?

Odejmowanie jest tym samym co dodawanie, a dzielenie jest tym samym co mnożenie. Zatem mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem. Mnożenie i dzielenie mają taki sam priorytet, podobnie jak dodawanie i odejmowanie.

Dla przykładu, rozważmy następujące wyrażenie

$$1+2\cdot3-8:4$$

To wyrażenie jest identyczne z tym, z dodanymi nawiasami, aby pierwszeństwo operatorów nie uległo zmianie:

$$1+(2\cdot3)-(8:4)$$

I tak

$$1+(2\cdot3)-(8:4)=1+6-2$$

które jest równe

$$1+6-2=5.$$

Gdybyśmy mieli mnożenie i dzielenie zaraz po sobie, policzylibyśmy je od lewej do prawej, gdy się pojawią:

$$6\cdot4:8$$

Najpierw obliczamy 6 · 4, czyli 24. Nie dotykamy jeszcze dzielenia:

$$6\cdot4:8=24:8$$

Teraz dzielimy 24 przez osiem:

$$24:8=3.$$

Dlaczego mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem

Można zapytać, dlaczego mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem. I jest to dobre pytanie! Można powiedzieć, że nie kryje się za tym nic poza tym, że matematycy zgadzają się, że tak jest. Nie ma żadnej reguły, która jasno wskazywałaby, że mnożenie musi mieć pierwszeństwo. Cała matematyka działałaby równie dobrze, nawet gdyby dodawanie miało wyższy priorytet niż mnożenie. Albo gdyby miało taki sam priorytet i zawsze przechodzilibyśmy od lewej do prawej, jak przy klikaniu na kalkulatorze.

Z drugiej strony, gdyby dodawanie miało priorytet, potrzebowalibyśmy więcej nawiasów. Zilustrujmy to, powiedzmy, nieco bardziej skomplikowanym wyrażeniem funkcji kwadratowej:

$$3x^2+4x+5$$

W obecnej matematyce wyrażenie to oznacza "trzy razy x do kwadratu", które dodajemy z "cztery razy x", które nadal dodajemy z "pięć". Gdyby dodawanie miało pierwszeństwo przed mnożeniem, musielibyśmy użyć nawiasów, aby uzyskać to samo wyrażenie:

$$\left(3x^2\right)+(4x)+5$$

Ponieważ używamy tego wyrażenia i innych podobnych dość często w matematyce, jest bardziej praktyczne dla matematyków, jeśli mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem. Nie ma jednak żadnego powodu, który wyraźnie sugerowałby, że musi być tak, a nie inaczej.

Zainteresowani mogą zapoznać się z artykułem " Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark" autorstwa Olgi Koshelevej i Vladika Kreinovicha.

Czy nie lepiej używać nawiasów?

Często tak. Wiele osób nie zdaje sobie sprawy z tego, jak działają priorytety mnożenia i dodawania, a nawet proste wyrażenie, takie jak

$$1+2\cdot3+4$$

może zostać źle zrozumiane. Jeśli chcesz zwiększyć szanse, że ludzie zrozumieją, co chcesz powiedzieć w notacji matematycznej, po prostu dodaj nawiasy do wyrażenia:

$$1+(2\cdot3)+4$$