Mnożenie liczb ujemnych

Liczby ujemne mogą być nieco sprzeczne z intuicją, zwłaszcza jeśli chodzi o ich iloczyn.

Jak wizualizować liczby ujemne

W życiu codziennym nie spotykamy się zbyt często z liczbami ujemnymi. Nie sądzę, by wiele osób powiedziało "hej, babciu, spójrz - tam na wzgórzu jest minus osiem krów!". Mnożenie liczb ujemnych jest jeszcze trudniejsze do wyjaśnienia.

Jest jednak co najmniej jeden przypadek, w którym liczby ujemne są jasne dla wszystkich: budżet domowy, jego dochody i wydatki. Jeśli na przykład spojrzysz na swoje konto bankowe, zobaczysz takie pozycje jak:

• +15 000 Kč: wypłata wynagrodzenia
• −1 753 CZK: zakupy w hipermarkecie
• −980 CZK: zakup gumy do żucia na cały rok
• +2500 CZK: dodatek państwowy za dobry nastrój
• −8000 Kč: czynsz

Jeśli otrzymujesz jakieś pieniądze, obok kwoty znajduje się znak plus, jeśli wydajesz jakieś pieniądze, pojawia się znak minus - ponieważ odejmujesz te wydane pieniądze od salda.

Możemy więc myśleć o liczbach ujemnych jako o wydatkach. Jeśli dodaliśmy tysiąc koron, zapiszemy to jako +1000, jeśli wydaliśmy pięć tysięcy, zapiszemy to jako −5000. Nie muszą to być tylko pieniądze, jeśli weźmiemy sześć gum do żucia z koszyka, możemy oznaczyć to jako −6.

Mnożenie liczby ujemnej przez liczbę dodatnią

Więc jaki będzie wynik iloczynu 7 · (−20)? Zasadniczo chodzi o to, jaki znak będzie miał wynik. Prawdopodobnie oczywiste jest, że wynikiem będzie albo 140, albo −140. Jak uzasadnić prawidłową procedurę?

Załóżmy, że jedna paczka gumy kosztuje 20 i kupujemy 7. Teraz zapytamy, ile pieniędzy wydaliśmy łącznie na te siedem gum do żucia. Oczywiste jest, że wydaliśmy 7 · 20 = 140 Kč.

Ale ponieważ są to pieniądze, które faktycznie wydaliśmy, nie zarobiliśmy ich, więc dodajemy znak minus. Gdybyśmy pozostawili wynik 140, oznaczałoby to, że jest to nasz dochód, ale są to nasze wydatki: stąd wynik 7 · (−20) = −140.

Ponownie, możemy przekształcić to w dodawanie: załóżmy, że kupiliśmy tylko dwie gumy do żucia. Obie kosztowały dwadzieścia koron, więc w naszych księgach byłoby to

• −20 CZK: guma do żucia
• −20 CZK: guma do żucia

Możemy to przepisać na 2 · (−20), lub zsumować wydatki: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Wtedy możemy napisać po prostu:

• −40 Kč: dwie gumy do żucia

W momencie, gdy mnożymy liczbę dodatnią przez ujemną (lub ujemną przez dodatnią, nie ma to znaczenia), możemy myśleć o tym, że część ujemna reprezentuje pewne wydatki, a liczba dodatnia reprezentuje liczbę tych wydatków. A ponieważ sumujemy wydatki, wynik również musi być ujemny.

Algebraiczne uzasadnienie

To, że mnożenie liczby dodatniej i ujemnej daje liczbę ujemną, można uzasadnić algebraicznie. Spróbujmy obliczyć ten przykład: 5 · (4 − 4). Oczywiście wynikiem jest zero, ponieważ 4 − 4 = 0 i 5 · 0 = 0. Jeśli jednak wiemy, jak mnożyć i mnożyć nawiasy, możemy przepisać poprzedni przykład w następujący sposób:

$$ 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Przepisaliśmy wyrażenie na inne, ale równoważne. Lewa strona równania nadal musi być równa zero, ponieważ oryginalne wyrażenie 5 · (4 − 4) również było równe zero. Teraz mnożymy 5 · 4 = 20:

$$ 20 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Teraz pozostało nam tylko wyrażenie 5 · (−4). Ale aby równanie pozostało poprawne, co musi być równe temu wyrażeniu? Jaką liczbę musimy dodać do 20, aby otrzymać zero? Jest to liczba −20. Zatem jedynym możliwym wynikiem wyrażenia 5 · (−4) jest liczba −20. Ponownie widzimy więc, że iloczyn liczby dodatniej i ujemnej daje liczbę ujemną.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych

Iloczyn dwóch liczb ujemnych daje nam liczbę dodatnią. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać dziwne, ale jest całkiem zrozumiałe. Tak samo działa to w mowie, gdy używamy podwójnego przeczenia: w komunikacie "nie będziemy niegrzeczni" mamy dwa przeczenia, ale zdanie mówi nam to samo, co "będziemy grzeczni". Teoretycznie moglibyśmy nie być ani jednymi, ani drugimi).

Niewielkie uzasadnienie znajduje się w następnej sekcji z ruchem dżentelmena z teczką. Poniżej znajduje się tabela przeglądowa z relacjami liczb dodatnich i ujemnych w odniesieniu do iloczynu:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Pozytywnie } \cdot \mbox{ Pozytywnie } &=& \mbox{ Pozytywnie }\\ \mbox{ Pozytywnie } \cdot \mbox{ Do przodu } &=& \mbox{ Do przodu }\\ \mbox{ Do przodu } \cdot \mbox{ Pozytywnie } &=& \mbox{ Do przodu }\\ \mbox{ Do przodu } \cdot \mbox{ Do przodu } &=& \mbox{ Pozytywnie }\\ \end{eqnarray}$$

Uzasadnienie ruchem

Iloczyn z czynnikami ujemnymi można ładnie wyjaśnić ruchem. Wyobraźmy sobie, że stoimy w punkcie początkowym osi liczbowej. Wygląda to mniej więcej tak:

Następnie mamy iloczyn dwóch liczb, powiedzmy 2 · 3. Pokażemy ten iloczyn na linii liczbowej jako ruch pana z teczką. Pierwsza liczba będzie reprezentować długość kroku, a druga liczba liczbę kroków wykonanych przez tego pana, więc możemy to zobaczyć jako iloczyn delka kroku · počet kroků.

Robiąc to, weźmiemy również pod uwagę liczby ujemne. Jeśli długość kroku jest dodatnia, mistrz zwykle idzie do przodu, ale jeśli długość kroku jest ujemna, idzie do tyłu. Jeśli liczba kroków jest dodatnia, mistrz jest skierowany w prawo (jak na powyższym obrazku), jeśli jest ujemna, jest skierowany w lewo.

Jakąkolwiek liczbę osiągnie pan z walizką, jest to wynik iloczynu podanych liczb. Zobaczmy, jak to działa dla wszystkich kombinacji liczb dodatnich i ujemnych.

W przypadku iloczynu 2 · 3, mężczyzna jest zwrócony w prawo i idzie do przodu. Wykonuje więc trzy kroki o dwa kwadraty do przodu.

Dżentelmen z teczką osiąga liczbę 6, więc wynikiem jest 2 · 3 = 6.

Teraz wypróbujmy iloczyn −2 · 3. Pierwsza liczba jest ujemna, co oznacza, że mężczyzna będzie teraz szedł do tyłu. Ale druga liczba jest dodatnia, więc spojrzy w prawo. Dżentelmen patrzy w prawo i robi trzy kroki do tyłu:

Widzimy, że pan z teczką osiągnął liczbę −6, co jest zgodne z faktem, że −2 · 3 = −6.

Następnie spróbujemy 2 · (−3). Pierwsza liczba jest dodatnia, więc dżentelmen pójdzie do przodu. Ale druga liczba jest ujemna, więc dżentelmen będzie skierowany w lewo. Dżentelmen spojrzy w lewo i zrobi trzy kroki do przodu:

Dżentelmen ponownie dotarł do liczby −6, która zgadza się z 2 · (−3) = −6. Jak widać, nie ma znaczenia, czy dżentelmen jest zwrócony w lewo i idzie do przodu, czy jest zwrócony w prawo i idzie do tyłu - w obu przypadkach dotrze do liczb ujemnych.

Na koniec wysyłamy mistrza do obliczenia −2 · (−3), więc odwracamy się w lewo i pozwalamy mu cofnąć się o trzy kroki:

Pan, być może nieco zaskakująco, otrzymuje liczbę 6. Możemy więc powiedzieć, że −2 · (−3) = 6, iloczyn dwóch liczb ujemnych, jest równy liczbie dodatniej.