Przestrzenie wektorowe

Przestrzeń wektorowa, czasami nazywana liniową, to zbiór elementów, które muszą spełniać pewne właściwości, które sprawiają, że elementy tego zbioru, które nazywamy wektorami, zachowują się "ładnie".

Przykład przestrzeni wektorowej

Zanim zdefiniujemy przestrzeń wektorową, pokażmy przykład przestrzeni wektorowej, którą powinieneś już znać z liceum, tylko nie wiesz, że jest to przestrzeń wektorowa. Są to klasyczne wektory na płaszczyźnie.

Przez wektor na płaszczyźnie rozumiemy uporządkowaną parę [a, b], gdzie a, b ∈ ℝ. to dowolne współrzędne w przestrzeni ℝ² (czyli iloczyn kartezjański ℝ×ℝ). Możemy przedstawić taki wektor za pomocą strzałki od punktu [0, 0] do punktu [a, b]. Wektor [2, 3] wyglądałby następująco:

Wiemy, że możemy dodawać wektory zgodnie z regułą [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]. Suma wektorów [2, 3] + [4, 1] byłaby równa wektorowi [2 + 4, 3 + 1] = [6, 4]. Przedstawilibyśmy to graficznie w następujący sposób:

Jednocześnie możemy obliczyć k-krotność wektora, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. k-krotność jest zapisywana jako k · [a, b]. Wynikiem jest nowy wektor, który jest zdefiniowany jako k · [a, b] = [k · a, k · b]. Graficznie jest to pokazane poprzez "rozciągnięcie", "skrócenie" lub zmianę kierunku wektora. Jeśli mamy wektor u = [2, 3], to wektory 2 · u, $\frac12u$ i −1 · u wyglądają następująco:

Później udowodnimy, że zbiór wszystkich wektorów ℝ² z operacjami zdefiniowanymi w ten sposób tworzy przestrzeń wektorową. Najpierw zdefiniujemy przestrzeń wektorową i użyjemy tej przestrzeni wektorowej ℝ² do pokazania każdej własności.

Definicja przestrzeni wektorowej

Przestrzeń wektorowa (lub przestrzeń liniowa) jest niepustym zbiorem V, którego elementy nazywane są wektorami. Co więcej, na zbiorze muszą istnieć dwie operacje: dodawanie wektorów, tj. reprezentacja $V \times V \longrightarrow V$, oraz mnożenie wektorów przez liczbę rzeczywistą, tj. reprezentacja $\mathbb{R} \times V \longrightarrow V$. (Mówiąc bardziej ogólnie, zamiast zbioru liczb rzeczywistych można użyć dowolnej bryły, ale więcej na ten temat w późniejszych artykułach). Dodawanie wektorów oznaczamy przez +, mnożenie wektorów przez · . Te dwie operacje muszą spełniać następujące warunki. Oznacza to, że muszą być spełnione dla wszystkich x, y, z ∈ V i dla wszystkich a, b ∈ ℝ (zauważ, że wektory x, y, z są pogrubione, podczas gdy liczby a, b są normalne):

1. x + y = y + xdodawanie wektorów jest przemienne. Wracając do przykładu z wektorami w ℝ², nie ma znaczenia, czy dodamy wektory w następujący sposób [2, 3] + [4, 1] lub odwrotnie: [4, 1] + [2, 3] .

• (x+y)+z = x+(y+z)dodawanie wektorów jest asocjatywne. Ponownie, możemy podłączyć kilka wektorów z ℝ² i zobaczyć, że to działa.
• a · (b · x) = (a · b) · xprawo mnożenia asocjacyjnego. Dla naszych wektorów będzie prawdą, że 4 · (5 · [6, 7]) jest tym samym co (4 · 5) · [6, 7]. Oba przykłady prowadzą do wektora [20 · 6, 20 · 7].
• a · (x + y) = a · x + a · yPrawo rozdzielności dla wektorów z V. Ponownie widzimy, że 2 · ([2,3]+[4,5]) jest tym samym co 2 · [2,3]+2 · [4,5]. Oba wyrażenia prowadzą do wektora [2 · 6,2 · 8].
• (a + b) · x = a · x+b · xRozdzielność dodawania liczb.
• 1 · x = xJeśli pomnożymy dowolny wektor przez liczbę rzeczywistą 1, wartość wektora nie zmieni się. W naszym przypadku 1 · [5, 8] = [5,8].
• Istnieje element 0∈ V taki, że 0 · x = 0. Pogrubione zero, tj. 0, jest tak zwanym wektorem zerowym, podczas gdy niepogrubione zero 0 jest po prostu liczbą zero. Ten punkt mówi, że w V musi istnieć wektor, który otrzymamy mnożąc dowolny wektor x∈ V przez liczbę zero. Dla naszej przestrzeni ℝ², jest to wektor [0,0], ponieważ dla wszystkich wektorów [a, b] ∈ ℝ², prawdą jest, że 0 · [a,b] = [0,0].

Są to własności, które musi spełniać przestrzeń wektorowa (liniowa) V. Jeśli pomnożymy wektor przez jakąś liczbę rzeczywistą a, to taką liczbę a nazywamy skalarem. Dlatego często mówimy o mnożeniu przez skalar i mamy na myśli wyrażenie postaci a · x, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a x jest wektorem.

Podwójne znaczenie znaku plus +

Należy pamiętać, że w niektórych wyrażeniach znak plus + może mieć podwójne znaczenie. Na przykład w punkcie rozdzielności dodawania liczb mamy równanie (a + b) · x = a · x+b · x. Jednak znak + po lewej stronie równania dodaje liczby rzeczywiste, ponieważ a i b są liczbami rzeczywistymi, podczas gdy po prawej stronie dodaje wektory, ponieważ iloczyn a · x jest wektorem.

Takie automatyczne rozpoznawanie jest często stosowane w matematyce - z kontekstu zawsze jasno wynika, o jakie dodawanie chodzi. Jeśli mamy wyrażenie x + y, a x, y są wektorami, używamy sumy wektorowej. Gdyby x, y były liczbami, użylibyśmy sumy klasycznej. Jeśli byłyby to macierze, użylibyśmy sumy macierzy itd.

Moglibyśmy użyć innego znaku dla dodawania wektorów, na przykład $\oplus$. Wtedy moglibyśmy zapisać rozdzielność dodawania liczb w następujący sposób: $(a+b)\cdot \mathbf{x} = a\cdot \mathbf{x}\oplus b\cdot \mathbf{x}$. Normalny znak + oznacza tutaj dodawanie liczb rzeczywistych a, b, znak $\oplus$ oznacza dodawanie wektorów. Zazwyczaj jednak pojedynczy znak + jest używany dla obu wersji dodawania, a jego znaczenie jest znane z kontekstu. To samo dotyczy znaku · .

Przestrzeń wektorowa R²

W pierwszej sekcji zdefiniowaliśmy przestrzeń wektorową V = ℝ², teraz udowodnimy, że jest to rzeczywiście przestrzeń wektorowa. Pierwszą rzeczą, którą musimy sprawdzić, jest to, czy poprawnie zdefiniowaliśmy operacje dodawania i mnożenia. Dodawanie ma na celu dodanie dwóch wektorów, a wynik ma być nowym wektorem. Jest to spełnione, ponieważ [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Dodanie dwóch wektorów z ℝ² daje nowy wektor z ℝ².

Gdybyśmy na przykład zdefiniowali dodawanie wektorów jako sumę ich wielkości, nie byłaby to poprawna operacja sumowania w przestrzeni wektorowej. Obliczylibyśmy rozmiar wektora [a, b] jako $\sqrt{a^2+b^2}$. Zatem wynikiem dodawania [3,4]+[5, 12] byłaby liczba $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+12^2}=5+13=18$, która nie jest wektorem przestrzeni ℝ².

Następnie musimy sprawdzić, czy poprawnie zdefiniowaliśmy mnożenie. Mnożenie mnoży liczbę rzeczywistą przez wektor z ℝ², a wynikiem powinien być nowy wektor z ℝ². Jest to ponownie spełnione, ponieważ zdefiniowaliśmy mnożenie skalarne jako k · [a,b] = [k · a, k · b].

Sprawdzimy po kolei wszystkie 7 własności, które musi spełniać przestrzeń wektorowa. Zastąpimy nasze wektory [a, b], [c, d], … poszczególnymi wektorami x, y w zależności od potrzeb, nie obawiaj się tego.

1. x + y = y + x, przemienność dodawania wektorów. Czy zdefiniowane przez nas dodawanie wektorów jest przemienne? Tak, ponieważ jest zdefiniowane jako [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Jeśli zamienimy wektory po lewej stronie, otrzymamy: [c, d]+[a, b] = [c + a,d + b] Ponieważ c + a jest sumą dwóch liczb rzeczywistych, a suma liczb rzeczywistych jest operacją przemienną, c + a = a + c i to samo dla drugiej pary: d + b = b + d Stąd wynika, że [a + c,b + d] = [c + a,d + b].

• (x+y)+z = x+(y+z). To będzie rodzaj zabawy z nawiasami. Zasadniczo są to proste modyfikacje, tylko będą one niechlujne, ponieważ będzie zbyt wiele nawiasów. Spróbujmy obliczyć tę sumę wektorową:

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c,b+d\right]+\left[e,f\right]=\left[\left(a+c\right)+e, \left(b+d\right)+f\right] $$

Ponieważ a, c, e są liczbami rzeczywistymi, a operacja dodawania jest asocjatywna na liczbach rzeczywistych, (a + c)+e = a + c + e. To samo dla drugiej współrzędnej. Możemy więc napisać, że

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c+e, b+d+f\right] $$

Teraz spróbujmy dodać te same wektory z inaczej ułożonymi nawiasami:

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a,b\right]+\left[c+e,d+f\right]=\left[a+\left(c+e\right),b+\left(d+f\right)\right]$$

Ponownie, a+(c + e) = a + c + e, więc możemy napisać, że

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a+c+e, b+d+f\right]$$

Widzimy więc, że niezależnie od tego, w jaki sposób ujmiemy sumę trzech wektorów, zawsze otrzymamy ten sam wektor [a + c + e, b + d + f]. Operacja dodawania w ℝ² jest więc asocjatywna i spełnia drugą własność przestrzeni wektorowych.

Możesz spróbować podstawić określone liczby po zmiennych a, …, f i zobaczysz, że to działa.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Ponownie, najpierw rozbijamy lewą stronę równania, zastępując wektor [c, d] po x:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = a \cdot \left[b \cdot c, b \cdot d\right] = \left[a \cdot (b \cdot c), a\cdot (b\cdot d)\right]$$

Ponieważ mnożenie liczb rzeczywistych jest asocjacyjne, otrzymujemy równanie a · (b · c) = a · b · c. Możemy więc napisać:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = \left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Teraz rozkładamy prawą stronę równania, tj. stronę (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a\cdot b)\cdot c, (a\cdot b)\cdot d\right]$$

Ponownie, (a · b) · c = a · b · c, więc:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Widzimy, że obie strony równania prowadzą do wektora wynikowego [a · b · c,a · b · d], więc równanie jest prawdziwe.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Procedura będzie taka sama, rozbijmy lewą stronę równania:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = a\cdot\left(\left[c+e, d+f\right]\right)=\left[a\cdot(c+e), a\cdot (d+f)\right]$$

Ponieważ a, c, e są liczbami rzeczywistymi, dla których zachodzi prawo rozdzielności, otrzymujemy równanie: a · (c + e) = ac + ae. Możemy więc napisać:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = \left[ac+ae, ad+af\right]$$

Prawa strona równania:

$$a\cdot\left[c,d\right]+a\cdot\left[e,f\right]=\left[ac, ad\right]+\left[ae, af\right]=\left[ac+ae, ad+af\right]$$

Widzimy, że lewa i prawa strona równania są równe po dostosowaniu.

• (a + b) · x = a · x+b · xBędziemy postępować bardzo podobnie do poprzedniego kroku. Dostosowanie lewej strony równania:

$$(a+b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

Prawa strona:

$$a\cdot\left[c, d\right]+b\cdot\left[c,d\right]=\left[ac, ad\right]+\left[bc, bd\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

• 1 · x = x: Nie wierzę, że ktokolwiek dotarł do tego punktu, ale niech tak będzie, przejdziemy dalej :-). Przynajmniej ten punkt jest łatwy. Musimy sprawdzić, że 1 · [a, b] = [a,b]. To z pewnością prawda, ponieważ

$$1\cdot\left[a,b\right]=\left[1\cdot a, 1\cdot b\right]=\left[a,b\right]$$

• Istnieje element 0∈ ℝ² taki, że 0 · x = 0: jest wektorem [0,0]. Dla niego zachodzi, że 0 · [a,b] = [0,0], ponieważ

$$0\cdot\left[a,b\right]=\left[0\cdot a, 0\cdot b\right]=\left[0{,}0\right]$$

Rozmiar przestrzeni wektorowych

Jaka jest najmniejsza istniejąca przestrzeń wektorowa? Z definicji wiemy, że przestrzeń wektorowa jest niepustym zbiorem V, więc najmniejszym możliwym rozmiarem, jaki możemy sobie wyobrazić, jest zbiór jednego wektora. Z siódmego punktu definicji wiemy, że przestrzeń musi zawierać wektor zerowy. Zbiór V = {0} jest więc kandydatem na najmniejszą przestrzeń wektorową.

Możemy zdefiniować dodawanie jako 0+0 = 0 i mnożenie jako a · 0 = 0. Bez względu na to, co zrobimy, zawsze otrzymamy wektor zerowy. Oczywiście ten zbiór jednopunktowy będzie miał wszystkie siedem wymaganych właściwości.

Wiemy już, że istnieje jednopunktowa przestrzeń wektorowa. Czy istnieje przestrzeń wektorowa, która będzie miała dwa elementy? Czy możemy zdefiniować operacje dodawania i mnożenia na zbiorze V = {x, 0}, aby uzyskać przestrzeń wektorową?

Odpowiedź brzmi: nie, nie istnieje dwupunktowa przestrzeń wektorowa. Nie istnieje też żadna skończona przestrzeń wektorowa inna niż wspomniana wcześniej jednopunktowa przestrzeń wektorowa. Wszystkie inne przestrzenie wektorowe są już nieskończone. Ale jeśli, jak sugerowano, użyjemy innej, skończonej bryły zamiast zbioru liczb rzeczywistych, możemy uzyskać inną skończoną przestrzeń wektorową.

Podsumowanie

Definicja przestrzeni wektorowych nie jest do końca prosta, wektory i operacje muszą spełniać łącznie 7 warunków, co nie jest mało. Z drugiej strony warunki te są dość trywialne i zrozumiałe - mają na celu ułatwienie pracy z wektorami. Dzięki zdefiniowanym warunkom możemy dodawać wektory z przestrzeni wektorowej bez konieczności sprawdzania, czy wynik dodawania będzie wektorem z innej przestrzeni wektorowej. Podobnie, możemy pomnożyć wektor przez liczbę rzeczywistą i zawsze otrzymamy wektor z tej samej przestrzeni. To, że wektory i ich operacje są zgodne z prawami komutacji, asocjacji i dystrybucji, jest również całkiem naturalne.

Możemy również zdefiniować przestrzeń wektorową bardziej ogólnie. Zamiast zbioru liczb rzeczywistych możemy przyjąć dowolną bryłę. Ale więcej na ten temat w późniejszych artykułach.

Linki i źródła

• O. Algebra liniowa 1 [PDF]
• Petr Olšák: Algebra liniowa