Przykłady przestrzeni wektorowych

W poprzedniej sekcji zdefiniowaliśmy przestrzenie wektorowe lub przestrzenie liniowe i pokazaliśmy przykład klasycznej przestrzeni wektorowej ℝ². W tym artykule przyjrzymy się innym przykładom.

Przestrzeń wektorowa Rⁿ

Znamy już przestrzeń wektorową ℝ², która składa się z wektorów postaci [a, b], gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi. Pokażemy, że w rzeczywistości dowolny zbiór uporządkowanych n-tic ℝⁿ, dla n > 0, tworzy przestrzeń wektorową.

Dla n = 2, otrzymamy zbiór par [a, b]. Jeśli podniesiemy n do n = 3, otrzymamy zbiór trójek. To przenosi nas z płaszczyzny do przestrzeni. ℝ² reprezentuje zatem klasyczną płaszczyznę, ℝ³ klasyczną trójwymiarową przestrzeń.

Definicje operacji dodawania i mnożenia są takie same jak w przypadku n = 2, tylko zawsze musimy dodawać/mnożyć wszystkie części wektorów:

$$\begin{eqnarray} \left[a_1, a_2, …, a_n\right] + \left[b_1, b_2, …, b_n\right] &=& \left[a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n\right]\\ k\cdot\left[a_1, a_2, …, a_n\right] &=& \left[k\cdot a_1, k\cdot a_2, …, k\cdot a_n\right] \end{eqnarray}$$

Teraz powinniśmy przeprowadzić dowód, że przestrzeń wektorowa ℝ³, lub bardziej ogólnie ℝⁿ, spełnia wszystkie siedem punktów z definicji przestrzeni wektorowych. Jednak dowody byłyby w większości takie same, po prostu pracowalibyśmy z wektorem o trzech składowych zamiast wektora o dwóch składowych. Na przykład, pierwszy punkt mówiący o przemienności dodawania wektorów dla n = 3 udowodnilibyśmy w następujący sposób:

Musimy udowodnić: x + y = y + x, gdzie x, y ∈ ℝ³. Rozbilibyśmy dodawanie dwóch wektorów:

$$\left[a, b, c\right] + \left[d, e, f\right] = \left[a+d, b+e, c+f\right]$$

Jeśli zamienimy wektory po lewej stronie, otrzymamy:

$$\left[d, e, f\right] + \left[a, b ,c\right] = \left[d+a, e+b, f+c\right]$$

Ale z własności dodawania dwóch liczb rzeczywistych wynika, że wektory wynikowe są takie same, czyli [a + d, b + e, c + f] = [d + a, e + b, f + c].

Jeśli porównasz to z dowodem dla n = 2 w poprzednim artykule, zobaczysz, że dowód jest praktycznie taki sam. Pozostałe sześć punktów można udowodnić w podobny sposób.

Co ciekawe, przestrzenią wektorową jest również ℝ¹ = ℝ, sama w sobie będąca zbiorem liczb rzeczywistych. Dodawanie i mnożenie wektorów zamienia się więc w zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych, a operacje dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych z pewnością spełniają wszystkie 7 punktów.

Z pewnością ponownie natkniemy się na przestrzeń ℝⁿ, jest to dość powszechna przestrzeń wektorowa.

Przestrzeń wektorowa macierzy m× n

Zbiór wszystkich macierzy, które mają m wierszy i n kolumn i które zawierają tylko liczby rzeczywiste, wraz z operacjami dodawania macierzy i mnożenia skalarnego macierzy, tworzą przestrzeń wektorową. W skrócie przestrzeń tę oznaczać będziemy przez ℝ^{m× n}.

W przypadku m = 2, n = 3 otrzymalibyśmy macierze o dwóch wierszach i trzech kolumnach. Przykładem takiej macierzy jest

$$\begin{pmatrix} 4&5&1\\ 9&1&3 \end{pmatrix}$$

Operację dodawania definiujemy w następujący sposób:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&…&b_{mn}\\ \end{pmatrix} =$$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&…&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Klasyczne dodawanie macierzy. Podobnie zdefiniujemy mnożenie skalarne:

$$ k \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&...&k\cdot a_{1n}\\k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&...&k\cdot a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots\k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&...&k\cdot a_{mn}\\\end{pmatrix} $$

Tak zdefiniowane operacje na zbiorze wszystkich macierzy ℝ^{m× n} tworzą przestrzeń wektorową. Co ważne, zawsze musimy brać zbiór wszystkich macierzy tego samego typu. Jeśli na drodze stanęłaby macierz innego typu, na przykład gdybyśmy dodali macierz typu 3 × 1 do macierzy ℝ^{2× 2}, mielibyśmy problem, ponieważ nie możemy nawet dodać macierzy typu 3 × 1 do macierzy typu 2 × 2.

Teraz powinniśmy ponownie sprawdzić, czy przestrzeń wektorowa zdefiniowana w ten sposób spełnia wszystkie 7 warunków, które nakładamy na przestrzeń wektorową. Ponieważ zapisywalibyśmy się w przypadku macierzy, cóż, zapisałbym się w szczególności, tylko krótko:

Dodanie dwóch macierzy zwróci nową macierz tego samego typu. Mnożenie przez skalar zwróci nową macierz tego samego typu, więc nasze operacje są zgodne pod względem typu.

1. x + y = y + xDodawanie macierzy jest oczywiście przemienne, ponieważ element o współrzędnych ij w macierzy wynikowej będzie miał postać $x_{ij}+y_{ij} = y_{ij}+x_{ij}$.

• (x+y)+z = x+(y+z)dodawanie macierzy jest również asocjatywne, ponieważ $(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij})$
• a · (b · x) = (a · b) · xponownie $a \cdot (b\cdot x_{ij}) = (a\cdot b)\cdot x_{ij}$
• a · (x + y) = a · x + a · y: ponownie dla elementów we współrzędnych ij otrzymujemy równość: $a \cdot (x_{ij} + y_{ij}) = a\cdot x_{ij} + a\cdot y_{ij}$
• (a + b) · x = a · x+b · x: ponownie wyrażamy tylko element we współrzędnych ij: $(a+b)\cdot x_{ij} = a\cdot x_{ij}+b\cdot x_{ij}$
• 1 · x = x: ponieważ $1\cdot x_{ij} = x_{ij}$, ten punkt również obowiązuje.
• Istnienie elementu zerowego. Jest to macierz zerowa, ponieważ dla wszystkich macierzy x naszej przestrzeni wektorowej zachodzi następująca zależność 0 · x_ij = 0

Przestrzeń wektorowa wielomianów

Wielomian, lub inaczej wielomian, jest oznaczany przez p(x) i jest wyrażeniem postaci:

$$ p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n. $$

Zakładamy, że a_n≠0. Stopień takiego wielomianu jest wtedy po prostu liczbą n. Liczby rzeczywiste a₀, …, a_n nazywane są współczynnikami wielomianu. Przykładem wielomianu jest wyrażenie 4 + 3x − 7x², gdzie a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 i stopień wielomianu wynosi 2. Niektóre współczynniki mogą być zerowe, więc wyrażenie x²+π x⁷ jest wielomianem stopnia 7, a a₂ = 1, a₇ = π i pozostałe współczynniki są zerowe.

Możemy po prostu dodać wielomiany - w skrócie, dodajemy ich współczynniki. Przykład:

$$ (2+3x-x^2) + (4-5x+101x^2+5x^3) = 6-2x+100x^2+5x^3 $$

Ogólnie, dodawanie wielomianów możemy zdefiniować następująco:

$$ (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_m x^m) = $$

$$ = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + … + (a_q+b_q) x^q,$$

gdzie q jest maksimum z m i n. k- wielomian p(x) jest następnie otrzymywany przez pomnożenie k przez wszystkie współczynniki:

$$k\cdot (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) =$$ $$= (k\cdot a_0) + (k\cdot a_1)x + (k\cdot a_2)x^2 + … + (k\cdot a_n) x^n$$

Na przykład:

$$ 7\cdot (3+6x-5x^2) = 21+42x-35x^2 $$

Zbiór wszystkich wielomianów, oznaczmy go przez P(X), z tak zdefiniowanymi operacjami dodawania i mnożenia, tworzy przestrzeń wektorową. Weryfikacja:

Suma dwóch wielomianów ponownie da nam wielomian, mnożenie przez skalar również utworzy nowy wielomian. Zdefiniowane przez nas operacje są zgodne co do typu.

Pozostałe siedem własności, które musi spełniać przestrzeń wektorowa, można już sprawdzić w ramach pracy domowej. Dowód będzie praktycznie taki sam jak dla poprzednich macierzy, tylko zamiast x_ij napiszemy x_i. Wielomian zerowy jest wtedy wielomianem p(x) = 0.

Podczas gdy dla macierzy wymagaliśmy, aby tylko macierze tego samego typu znajdowały się w przestrzeni wektorowej, nie wymagamy tego dla wielomianów. Nie możemy nawet tego wymagać. Gdybyśmy wzięli zbiór wszystkich wielomianów stopnia drugiego, zbiór ten nie tworzyłby przestrzeni wektorowej. Dlaczego? Możemy to zilustrować kontrprzykładem. Dodajmy te dwa wielomiany:

$$ \left(1+2x+3x^2\right) + \left(1+2x-3x^2\right) = 2+4x $$

Umieszczając 3x² w pierwszym wielomianie i −3x² w drugim, otrzymaliśmy 0x² po dodaniu, ale to zmniejszyło stopień wielomianu. Wielomian 2 + 4x jest wielomianem stopnia 1, a nie 2.

Referencje i źródła

• O. Krupková: Algebra liniowa 1 [PDF]
• Petr Olšák: Algebra liniowa