✖

Liniowy wrapper

Kapitoly: Przestrzenie wektorowe, Przykłady przestrzeni wektorowych, Podprzestrzeń wektorowa, Kombinacje liniowe wektorów, Liniowy wrapper, Podstawy przestrzeni wektorowej, Wymiary przestrzeni wektorowej, Macierz przejścia

Jeśli mamy zbiór wektorów i policzymy wszystkie ich kombinacje liniowe, to otrzymamy obwiednię liniową tego zbioru wektorów.

Definicja obwiedni liniowej

Rozważmy wektory x1, …, xn. Wiemy już, że możemy utworzyć nowy wektor z tych wektorów za pomocą kombinacji liniowej. Wybieramy liczby rzeczywiste a1, …, an i otrzymujemy nowy wektor y poprzez mnożenie i dodawanie.

$$ \mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

W ten sposób, jeśli przynajmniej jeden z wektorów xi jest różny od wektora zerowego, możemy utworzyć nieskończenie wiele "innych" wektorów ze zbioru wektorów x1, …, xn - musimy tylko odpowiednio dobrać różne współczynniki a1, …, an.

Jeśli będziemy generować wektory w kółko, w końcu otrzymamy wszystkie wektory, które można uzyskać poprzez liniowe łączenie wektorów x1, …, xn. Taki zbiór nazywamy obwiednią liniową wektorów x1, …, xn. Obwiednię liniową zbioru wektorów X oznaczamy nawiasami ostrymi: <X> Formalnie, możemy zapisać obwiednię liniową w następujący sposób

$$ \left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$

jeśli mamy skończoną liczbę wektorów. Jeśli mamy nieskończony zbiór wektorów X, możemy wziąć wszystkie skończone podzbiory Yi ⊆ X, tj. |Yi| = r dla pewnego r ∈ ℕ, a obwiednia liniowa zbioru X będzie wtedy unią wszystkich zbiorów <Yi>.

Przykład

Pozostając przy popularnej przestrzeni wektorowej ℝ3. Wybieramy zbiór jednopunktowy X1 = {[1,2,1]} i pytamy, jakie jest liniowe pokrycie tego zbioru? Czy wszystkie kombinacje liniowe wektora [1,2,1]. Wynikowe pokrycie będzie miało postać

$$ \left<X_1\right> = \left\{\left[a,2a,a\right]|a\in \mathbb{R}\right\} $$

Będą to więc wektory postaci [3,6,3],[8,16,8],[−1,−2,−1] itd. Możemy spróbować zweryfikować, że suma pewnych dwóch wektorów daje nam nowy wektor o tym samym kształcie:

$$\begin{eqnarray} \left[3{,}6,3\right]+\left[3{,}6,3\right]&=&\left[6{,}12,6\right]\\ \left[3{,}6,3\right]+\left[-1,-2,-1\right]&=&\left[2{,}4,2\right]\\ \left[8{,}16,8\right]+\left[2{,}4,2\right]&=&\left[10{,}20,10\right] \end{eqnarray}$$

Drugim przykładem mogą być klasyczne wektory X2 = {[1,0,0], [0,1,0]}. Jeśli policzymy wszystkie kombinacje liniowe, okaże się, że mają one kształt [a, b, 0], gdzie a, b, ∈ ℝ. Można to łatwo wykazać, ponieważ

$$\left[a,b,0\right] = a \cdot \left[1{,}0,0\right] + b \cdot \left[0{,}1,0\right].$$

Tak więc wektorami tego opakowania są na przykład [0,8,0], [14,15,0], itd. Formalnie zapisalibyśmy to w następujący sposób:

$$ \left<X_2\right> = \left\{\left[a,b,0\right] | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$

Liniowy wrapper jako najmniejsza podprzestrzeń

Rozważmy przestrzeń wektorową V i pewien zbiór wektorów X ⊆ V. Liniowe pokrycie <X> jest wtedy podprzestrzenią wektorową przestrzeni V, tzn. pokrycie <X> jest przestrzenią wektorową.

Musimy tylko pokazać, że pokrywa <X> jest domknięta względem dodawania i mnożenia. Z pewnością jest, ponieważ dowolny wektor x ∈ <X> powstał jako kombinacja liniowa wektorów z X.

Pokrycie liniowe zbioru X jest również najmniejszą podprzestrzenią, która zawiera wszystkie wektory ze zbioru X. Dlaczego? Najmniejsza podprzestrzeń wektorowa, która zawiera wektory z X, musi również zawierać wszystkie kombinacje liniowe wektorów z X - w przeciwnym razie nie byłaby przestrzenią wektorową. Możemy założyć , że istnieje jakaś mniejsza podprzestrzeń wektorowa, nazwijmy ją Y, która zawiera wszystkie wektory z X, tj. X ⊆ Y. Ponieważ z założenia Y jest mniejsza niż obwiednia <X>, musi istnieć wektor x, który znajduje się w <X>, ale nie w Y, tj. $\mathbf{x}\in\left<X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y$.

Jednak wektor x musi być konstruowalny jako kombinacja liniowa wektorów z X, więc muszą istnieć wektory x1, …, xn∈ X i współczynniki a1, …, an takie, że

$$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Jeśli jednak Y nie zawiera wektora x, a mimo to zawiera wektory x1, …, xn, to Y nie może być przestrzenią wektorową, a więc nie jest podprzestrzenią. Zatem pokrycie <X> jest najmniejszą podprzestrzenią, która zawiera wszystkie wektory z X.

Podstawowe własności pokrycia liniowego

  • Zawsze jest prawdą, że W ⊆ <W>. Powinno to być oczywiste. Liniowe pokrycie zbioru W zawsze będzie równe lub większe od zbioru W. Ponieważ obwiednia liniowa <W> zawiera wszystkie kombinacje liniowe wektorów z W, to <W> musi również zawierać wszystkie wektory z W, ponieważ jeśli weźmiemy wektor x ∈ W, otrzymamy kombinację a · x = x dla a = 1.

    Przykład: liniowym pokryciem zbioru W = {[1,0,0]} jest zbiór

    $$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\. \end{eqnarray}$$

    Oczywiście, {[1,0,0]} ⊆ {[a,0,0],|,a∈ ℝ}.

  • Zawsze jest prawdą, że <W> = <<W>>. Po obliczeniu pokrycia liniowego, pokrycie liniowe tego pokrycia jest tym samym pokryciem. <W> zawiera wszystkie kombinacje liniowe z W. Gdybyśmy ponownie policzyli wszystkie kombinacje liniowe z <W>, nie otrzymalibyśmy żadnych nowych.

  • Rozważmy pewną przestrzeń wektorową V i mamy dwa podzbiory tej przestrzeni (niekoniecznie podprzestrzenie) W1 i W2, tj. W1, W2 ⊆ V. Jeśli W1 ⊆ W2 zachodzi w tym samym czasie, to <W1> ⊆ <W2> również zachodzi.

    Innymi słowy: jeśli mamy dwa zbiory wektorów, z których jeden jest mniejszy, to mniejszy zbiór wektorów ma mniejszą lub równą obwiednię liniową niż większy zbiór.

    Przykład: niech W1 = {[1,0,0]} i W2 = {[1,0,0], [0, 1, 0]}. Widzimy, że W1 ⊆ W2 zachodzi. Jakie byłyby obwiednie liniowe?

    $$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{\left[a,0{,}0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{\left[a,b,0\right],|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$

    Zbiór wektorów W2 "wygenerował większą obwiednię" niż zbiór W1, czego się spodziewaliśmy. Zbiór W2 zawiera wszystkie wektory ze zbioru W1, więc wszystkie liniowe kombinacje wektorów ze zbioru W1 będą również generowane z wektorów ze zbioru W2.

    Inny przykład: W3 = {[1,2,0]} i W2 = {[1,2,0], [5,10,0]}. Na pierwszy rzut oka widać, że wektory w W2 są zależne. Dlatego oba zestawy wygenerują ten sam wrapper. Tak więc, mimo że W1 ⊂ W2, tak samo jak <W1> = <W2>.

Linki i zasoby