Przemienność

Przemienność jest właściwością operacji takich jak dodawanie. Możemy zauważyć, że w dodawaniu kolejność nie ma znaczenia, więc 3 + 5 jest tym samym, co 5 + 3. Niezależnie od tego, jakie dwie liczby rzeczywiste dodamy a + b, wynik będzie taki sam, nawet jeśli zamienimy dodawane liczby: b + a Jeśli operacja spełnia ten warunek, mówimy, że jest komutatywna.

Przykładem innego działania, które jest przemienne, jest mnożenie, ponieważ 2 · 6 daje taki sam wynik jak 6 · 2, i to samo jest prawdą dla dowolnych dwóch liczb a, b:

$$\large a\cdot b = b\cdot a$$

Przykładem działania, które nie jest przemienne, jest odejmowanie, ponieważ 7 − 4 różni się od 4 − 7. W pierwszym przypadku otrzymujemy wynik 3, a w drugim −3. Innym przykładem jest dzielenie, ponieważ 2 / 5 różni się od 5 / 2.

Zwróć jednak uwagę na inne właściwości operacji, takie jak pierwszeństwo mnożenia. Jeśli mamy wyrażenie 1 + 2 · 3, nie możemy powiedzieć, że jest ono takie samo jak 2 + 1 · 3. Dzieje się tak, ponieważ priorytet mnożenia ma pierwszeństwo przed dodawaniem. Możemy pomóc sobie nawiasami: wyrażenie 1 + 2 · 3 jest takie samo jak 1 + (2 · 3). Jeśli chcemy zastosować prawo przemienności dodawania, możemy to zrobić, ale musimy zabrać ze sobą cały nawias: 1 + (2 · 3) jest równe (2 · 3) + 1, a to jest równe (3 · 2) + 1, jeśli nadal stosujemy zasadę przemienności mnożenia.

Operacje mnożenia i przemienność

Operacje przemienne nie muszą być tylko operacjami na liczbach, ale także operacjami na zbiorach, na przykład. Przykładowo, przecięcie zbior ów A i B jest operacją komutatywną. Przecięcie dwóch zbiorów to "elementy znajdujące się w obu zbiorach", tj.

$$\large A\cap B = B\cap A$$

Dokładnie w ten sam sposób będzie działać operacja łączenia zbiorów A i B, której wynikiem są "elementy, które znajdują się w co najmniej jednym ze zbiorów", a zatem:

$$\large A\cup B = B\cup A$$

Komutatyw nie jest na przykład różnicą zbiorów.

Wektory

Wśród operacji na wektorach można znaleźć jeszcze jedną operację komutatywną, a mianowicie dodawanie wektorów - ogólnie rzecz biorąc, dodawanie jest zwykle operacją komutatywną. W tym przypadku, jeśli mamy dwa wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, to

$$\large\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$

Zostało to przedstawione graficznie na poniższym rysunku:

Sumowanie $\vec{u}+\vec{v}$ pokazuje "górną ścieżkę", gdzie najpierw stosujemy czerwony wektor $\vec{u}$, a następnie niebieski wektor $\vec{v}$. Sumowanie $\vec{v}+\vec{u}$ pokazuje "dolną ścieżkę", gdzie najpierw stosujemy ścieżkę niebieskiego wektora $\vec{v}$, a następnie czerwony wektor $\vec{u}$. Ale wynik jest taki sam, wektory kończą się w tym samym punkcie.

Można to sobie wyobrazić w ten sposób, że wychodzimy z jakiegoś miejsca i idziemy pięćdziesiąt metrów na północ, a następnie dwadzieścia metrów na zachód. Gdybyś najpierw poszedł dwadzieścia metrów na zachód, a następnie pięćdziesiąt metrów na północ, skończyłbyś w tym samym miejscu. Ten rodzaj chodzenia jest więc komutatywny.

Logika

Operacje komutatywne obejmują również operatory logiczne "i jednocześnie" (koniunkcja) oraz "lub" (dysjunkcja). Oznacza to, że stwierdzenie "liczba 5 jest zarówno nieparzysta, jak i pierwsza" ma taką samą ważność jak stwierdzenie "liczba 5 jest zarówno pierwsza, jak i nieparzysta". Podobnie, w przypadku koniunkcji, "liczba 6 jest pierwsza lub parzysta" ma taką samą ważność jak stwierdzenie "liczba 6 jest parzysta lub pierwsza".

Ale komutacja nie jest implikacją, więc stwierdzenie "jeśli wygram w sporcie, to będę bogaty" nie jest tym samym, co "jeśli jestem bogaty, to wygram w sporcie".