✖

Ciała

Nie potrzebujesz żadnych specjalnych umiejętności matematycznych ani wiedzy, aby zrozumieć poniższe wyjaśnienia. Wystarczy rozumieć podstawy matematyki na poziomie szkoły średniej i mieć chęć nauczenia się lub ponownego nauczenia się czegoś nowego.

Bańka o nazwie ciało stałe algebraiczne

Jeśli sama nazwa bryła algebraiczna cię przeraża, wiedz, że naprawdę nie ma się czego obawiać. Taka bryła jest w rzeczywistości bardzo prostą rzeczą, jeśli spojrzeć na nią pod odpowiednim kątem.

Bryłaalgebraiczna to dowolny zbiór plus dwie operacje binarne spełniające określone warunki. To wszystko. Nic więcej ani mniej. Jak widać, z pewnością nic niebezpiecznego ani przerażającego. A kiedy już to wiemy, możemy bez obaw podejść nieco bliżej.

Wiele elementów ciała

Oznaczymy nasz arbitralny zbiór T i nazwiemy jego elementy elementami bryły. Uwierzcie mi, moi przyjaciele, zbiór elementów bryły może być całkowicie arbitralny. Może to być zbiór wszystkich liczb parzystych, zbiór wszystkich skarpetek, do których nie masz partnera, a nawet twoja kolekcja wypchanych słoni. Być może jedynym warunkiem jest to, że zbiór T nie może być pusty. Ponieważ nie byłoby to zbyt zabawne.

Operacje binarne

Jeśli nie jest dla ciebie od razu oczywiste, czym właściwie jest operacja binarna, możesz myśleć o niej jak o małym młynku. Wkładasz do niej dwa (stąd binarność w nazwie) elementy zbioru, lekko kręcisz korbą, a ona wyrzuca jakiś inny element z twojego zbioru. Taką operacją binarną jest dzielenie. Zastanawiasz się ile to jest 10 / 5? Weźmy binarną operację dzielenia (młynek), gdzie naszym zbiorem będzie zbiór liczb rzeczywistych. Włóż do młynka najpierw dziesiątkę, a potem piątkę, zakręć korbą i, o dziwo, wypadnie dwójka.

Nazwiemy nasze dwie operacje dodawania i mnożenia i oznaczymy je $\oplus$ i $\otimes$. Nie daj się zwieść ich nazwom. Operacje te mogą nie mieć wiele wspólnego z operacjami dodawania i mnożenia, których zwykle używamy. Dzieje się tak właśnie dlatego, że elementami bryły mogą być dowolne obiekty. A "nasze" dodawanie i mnożenie nie może być stosowane do wypchanych słoni czy skarpetek.

Operacje na bryłach

Operacje $\oplus$ i $\otimes$ muszą spełniać określone warunki. Nie możemy ich wprowadzać dowolnie. W rzeczywistości celem wprowadzenia tych operacji jest uogólnienie zwykłego dodawania i mnożenia, których używamy na liczbach. Chcemy być w stanie wprowadzić te operacje, abyśmy mogli zastosować je do elementów bryły, które, jak już wiemy, mogą być całkowicie dowolnymi obiektami, a nie tylko liczbami. Nadal jednak chcemy, aby operacje $\oplus$ i $\otimes$ zachowały pewien podstawowy sens dodawania i mnożenia. Zapewnimy to, wprowadzając dziesięć warunków, które te operacje muszą spełniać, aby nasza struktura była bryłą. Warunki te nazwiemy aksjomatami bryły. Oto one:

  1. Przemienność dodawania - Dla dowolnych dwóch elementów a, b bryły T , $a \oplus b = b \oplus a$ musi zachodzić.
  • Asocjatywność dodawania - dla dowolnych trzech elementów a, b, c bryły T , $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ musi zachodzić.
  • Istnienie elementu zerowego - musi istnieć element z bryły T, oznaczany 0 (nie mylić z liczbą 0), który musi mieć tę własność, że dla dowolnego elementu a z bryły T zachodzi $a \oplus 0 = a$.
  • Istnienie elementu przeciwnego - Musi istnieć element z bryły T, oznaczmy go przez -a, który musi mieć tę własność, że dla dowolnego elementu a z bryły T, $a \oplus -a = 0$.
  • Przemienność mnożenia - dla dowolnych dwóch elementów a, b z bryły T musi zachodzić $a \otimes b = b \otimes a$.
  • Asocjatywność mnożenia - dla dowolnych trzech elementów a, b, c z bryły T , $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$ musi zachodzić.
  • Istnienie elementu jednostkowego - musi istnieć element z bryły T, oznaczany 1 (nie mylić z liczbą 1), który musi mieć własność, że dla dowolnego elementu a z bryły T zachodzi $a \otimes 1 = a$.
  • Istnienie pierwiastka odwrotnego - Musi istnieć pierwiastek z bryły T, oznaczmy go przez a-1 , który musi mieć tę własność, że dla dowolnego pierwiastka a różnego od 0 z bryły T, $a \otimes a^{-1} = 1$ zachodzi.
  • Rozdzielność - Dla dowolnych trzech elementów a, b, c z ciała T, $a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$ musi zachodzić.
  • Nietrywialność - element zerowy i element jednostkowy nie mogą być jednym i tym samym. Zatem $0 \neq 1$

Dla tych, którzy chcieliby poćwiczyć formalizm matematyczny, napisałem tutaj aksjomaty bryły tak, jak są one zapisane w języku matematycznym.

  1. $ \forall a,b \in T \quad a \oplus b = b \oplus a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
  • $ \exists 0 \in T : \forall a \in T \quad a \oplus 0 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists -a \in T \quad a \oplus -a = 0$
  • $ \forall a,b \in T \quad a \otimes b = b \otimes a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
  • $ \exists 1 \in T : \forall a \in T \quad a \otimes 1 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists a^{-1} \in T, a \neq 0 \quad a \otimes a^{-1} = 1$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$
  • $0 \neq 1$

Być może myślisz sobie, że tych aksjomatów jest strasznie dużo. Ale wszystkie są łatwe do zrozumienia, gdy uświadomimy sobie, co oznaczają. Pierwsze cztery opisują zwykłe właściwości dodawania, a kolejne cztery opisują zwykłe właściwości mnożenia, które są również bardzo podobne do pierwszych czterech. Dziewiąty aksjomat mówi, w jaki sposób dodawanie i mnożenie są ze sobą powiązane. Jedynie dziesiąty aksjomat jest raczej techniczny i zapewnia, że bryła nie może mieć żadnych dziwnych właściwości.

Zauważ, jak ładnie uniknęliśmy wprowadzenia odejmowania i dzielenia. Operacje te są wprowadzane poprzez dodawanie elementu odwrotnego i mnożenie przez element odwrotny. Tak więc, na przykład, 4 − 2 jest tylko skrótem dla 4 + (−2), a 4 / 2 jest tylko skrótem dla 4 · 2−1.

Parada brył

Wprowadziliśmy już formalnie pojęcie bryły algebraicznej. Jeśli chcemy intuicyjnie wyrazić, czym jest bryła, możemy powiedzieć, że jest to rodzaj struktury, która pozwala nam dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić dowolne obiekty, na których możemy zdefiniować te operacje, w sposób podobny do tego, w jaki wykonujemy te operacje w elementarnej arytmetyce.

Nasza pierwsza bryła

Skoro już wymyśliliśmy i opisaliśmy bryły, skonstruujmy kilka prawdziwych brył. Najpierw wybierzmy zestaw elementów dla bryły. Na razie nie będziemy zbytnio eksperymentować z wypchanymi słoniami czy skarpetkami, a jako elementy bryły wybierzemy liczby naturalne. Aby zachować prostotę, weźmiemy po prostu liczby 0, 1, 2, 3, 4. Nasz zbiór T będzie wyglądał następująco:

$$T = \left\{0, 1, 2, 3, 4\right\}$$

Teraz pozostaje już tylko w jakiś sprytny sposób zdefiniować operacje $\oplus$ i $\otimes$. Wykorzystamy tutaj operacje dodawania i mnożenia, które znamy już z arytmetyki. Zmodyfikujemy je jednak nieco, aby działały na naszej bryle.

  • Operacje $\oplus$Dodawanie dwóch elementów $a \oplus b$ odbywa się poprzez obliczenie reszty po podzieleniu pięciu przez sumę a + b. Operacje dodawania w naszej bryle będą wyglądać następująco:$ 1 \oplus 1 = 2 \qquad 1 \oplus 3 = 4 \qquad 2 \oplus 3 = 0 \qquad 4 \oplus 2 = 1$ itd.
  • Operacja $\otimes$iloczynu dwóch pierwiastków $a \otimes b$ jest wykonywana przez obliczenie reszty po podzieleniu pięciu przez iloczyn ab . Mnożenie w naszej bryle będzie zatem wyglądać następująco: $ 1 \otimes 1 = 1 \qquad 2 \otimes 2 = 4 \qquad 2 \otimes 3 = 1 \qquad 4 \otimes 2 = 3 \qquad$ itd.

I to wszystko. Mamy teraz stworzoną pełnoprawną bryłę. Nadal musielibyśmy sprawdzić ważność wszystkich aksjomatów, aby upewnić się, że stworzyliśmy prawdziwą bryłę, a nie jakąś plotkę.

  • Komutatywność i asocjatywność dodawania i mnożenia z pewnością jesteś w stanie zweryfikować sam, podobnie jak rozdzielność.
  • Ze sposobu, w jaki zdefiniowaliśmy dodawanie i mnożenie, wynika również, że istnieje element zerowy (w naszym przypadku jest to liczba 0) i element jednostkowy (w naszym przypadku 1), które różnią się od siebie.
  • Teraz musimy tylko zweryfikować istnienie elementów przeciwnych i odwrotnych. Z pewnością wszyscy widzimy, że dla każdej liczby w zbiorze {0, 1, 2, 3, 4} istnieje taka liczba w tym samym zbiorze, że wynikiem ich sumy jest pięć (tj. 0 w naszej bryle).
  • Podobnie jest w przypadku mnożenia, a wynikiem jest 6 (1 w naszej bryle), z wyjątkiem liczby 4, która ma pierwiastek odwrotny 4, ponieważ 4 · 4 = 16 i po podzieleniu przez 5 mamy resztę 1. Spróbuj znaleźć inne pierwiastki odwrotne!

Przykłady innych brył

Jakiś czas temu stworzyliśmy bryłę, która ma pięć pierwiastków. Okazuje się, że w ten sam sposób można stworzyć inne bryły, w których liczba pierwiastków jest pierwsza. Takie bryły są nazywane bryłami klas resztowych i są oznaczane przez Zp, gdzie p jest liczbą elementów bryły, i są często używane w matematyce lub informatyce, i oczywiście w różnych przykładach pisania.

Czy można tworzyć bryły o liczbie elementów innej niż pierwsza? Tak, ale nie w sposób, który zademonstrowałem przed chwilą. Dlaczego? Wyobraźmy sobie bryłę wykonaną przy użyciu procedury opisanej powyżej, która ma tylko cztery pierwiastki. W takiej bryle, $2 \otimes 2 = 0$. Zatem iloczyn dwóch niezerowych liczb wynosi zero. To nie może się zdarzyć w ciele stałym. Nie jest to bezpośrednio zabronione w aksjomatach bryły, ale dość łatwo to z nich wywnioskować. Okazuje się jednak, że jeśli zamiast liczb jako elementów bryły użyje się wielomianów, to można otrzymać bryły, których liczba elementów jest potęgą liczby pierwszej. Tak więc czteroelementowa bryła istnieje, ponieważ cztery jest potęgą dwójki.

Oczywiście możliwe są również bryły z nieskończoną liczbą elementów. Tak więc, na przykład, zbiór liczb rzeczywistych plus nasze zwykłe operacje dodawania i mnożenia również tworzą bryłę. Oczywiście dotyczy to nie tylko liczb rzeczywistych, ale także liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i złożonych.

I najlepsza część na koniec. Oczywiście nikt nie narzuca, że bryły muszą składać się z liczb, wielomianów czy w ogóle jakichkolwiek obiektów matematycznych. Jak już mówiłem, bryłę można zrobić ze skarpetek, wypchanych słoni itp. Jedynym problemem byłoby zdefiniowanie dodawania i mnożenia na słoniach. Interesujące jest to, że nigdy nie można stworzyć bryły zawierającej sześć skarpetek. Ponieważ sześć nie jest liczbą pierwszą ani potęgą liczby pierwszej. Ale można łatwo stworzyć bryłę, która ma siedemnaście skarpetek, ponumerować każdą z nich (biała skarpetka to 0, czarna to 1, zielona to 2 itd.), a następnie zsumować je w ten sam sposób, w jaki zrobiliśmy to w bryle pozostałych klas.

Po co to wszystko?

Jeśli doczytałeś do tego momentu, być może zastanawiasz się, po co nam tak szalona struktura jak bryła algebraiczna? Cóż, bryły są bardzo ważne, zarówno z teoretycznego punktu widzenia, ponieważ opisują i, co ważniejsze, uogólniają to, co można nazwać liczeniem, tj. arytmetykę, jak i z praktycznego punktu widzenia, ponieważ wiele problemów matematycznych lub informatycznych jest łatwiejszych do rozwiązania, jeśli myślimy o nich jako o liczeniu w bryłach. Bryły skończone, na przykład, mają ogromne znaczenie dla kodów na płytach CD lub DVD. Poza tym, jeśli chodzi o samą algebrę liniową, bryły są kamieniem węgielnym dla innych, bardziej złożonych, a przez to o wiele bardziej użytecznych i interesujących struktur, takich jak przestrzenie wektorowe. Stanowią one swego rodzaju fundament dla całej algebry liniowej.

Podobał Ci się ten artykuł? Pomógł ci w nauce? A może masz zastrzeżenia lub pomysły na jego ulepszenie? Napisz do mnie na adres lishaak[zavinac]matfyz.cz.

Autorem tego artykułu jest Lishaak.