Wymiary przestrzeni wektorowej
Kapitoly: Przestrzenie wektorowe, Przykłady przestrzeni wektorowych, Podprzestrzeń wektorowa, Kombinacje liniowe wektorów, Liniowy wrapper, Podstawy przestrzeni wektorowej, Wymiary przestrzeni wektorowej, Macierz przejścia
Wymiar przestrzeni wektorowej jest równy liczbie elementów podstawy tej przestrzeni wektorowej. Jeśli baza jest nieskończona, to mówimy, że wymiar jest nieskończony.
Definicja wymiaru przestrzeni wektorowej
Rozważmy przestrzeń wektorową V i pewną bazę B. Oznacza to, że zbiór B ⊆ V, zbiór B zawiera liniowo niezależne wektory, a liniowe pokrycie zbioru B jest równe przestrzeni V: <B> = V.
Jeśli baza B ma skończoną liczbę elementów n, to mówimy, że wymiar przestrzeni V jest równy n. Oznaczamy ten wymiar przez dim, a więc dim V = |B| = n. Jeśli baza B jest nieskończona, to mówimy, że wymiar przestrzeni jest również nieskończony. Ponieważ wszystkie bazy przestrzeni mają zawsze ten sam rozmiar, nie ma znaczenia, którą bazę przyjmiemy.
Przykład: przestrzeń ℝ3 ma bazę [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]. W sumie są trzy wektory, więc $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. Ogólnie możemy powiedzieć, że $\dim \mathbb{R}^n = n$.
Jeśli przestrzeń V ma wymiar n, mówimy o n-wymiarowej przestrzeni wektorowej.
Właściwości wymiaru przestrzeni wektorowej
- Rozważmy przestrzeń wektorową V i pewną podprzestrzeń W ⊆ V. Wtedy $\dim W \le \dim V$.
- Biorąc pod uwagę przestrzeń wektorową V i pewną podprzestrzeń W ⊂ V, zachodzi zależność, że $\dim W < \dim V$. Ten punkt różni się tym, że nie zezwalamy na W = V. Tak więc, jeśli mamy podprzestrzeń W, która jest mniejsza niż V, to ta podprzestrzeń również będzie miała mniejszy wymiar. Dlaczego? Ponieważ istnieje wektor x ∈ V ∖ W, który nie jest kombinacją liniową wektorów z W, a zatem nie jest kombinacją liniową wektorów z żadnej bazy W.
- Jeśli przestrzeń V ma wymiar n, to dowolne liniowo niezależne wektory n tworzą bazę przestrzeni V. Zbiór wektorów n + 1 tworzy wówczas liniowo zależny zbiór wektorów.