Kombinacje liniowe wektorów
Kapitoly: Przestrzenie wektorowe, Przykłady przestrzeni wektorowych, Podprzestrzeń wektorowa, Kombinacje liniowe wektorów, Liniowy wrapper, Podstawy przestrzeni wektorowej, Wymiary przestrzeni wektorowej, Macierz przejścia
Kombinacja liniowa to proces konstruowania nowego wektora z zestawu wektorów przy użyciu tylko dodawania i mnożenia.
Czym jest kombinacja liniowa
Rozważmy pewną przestrzeń wektorową V. Wiemy, że przestrzeń ta jest zamknięta pod operacją dodawania wektorów, więc dla dwóch wektorów x, y ∈ V, zawsze jest prawdą, że x+y∈ V. Jeśli dodamy dwa wektory, otrzymamy ponownie wektor z tej samej przestrzeni. To samo dotyczy mnożenia skalarnego. Jeśli mamy jakieś k∈ ℝ, to również k · x ∈ V.
Możemy połączyć te dwie operacje - bierzemy k, l ∈ ℝ i wyrażenie k · x + l · y ponownie daje nam nowy wektor, nazwijmy go v, a ten wektor v ponownie będzie leżał w przestrzeni V. Dlaczego? k · x ∈ V, podczas gdy na pewno l · y∈ V. Dodajemy dwa wektory przestrzeni V, więc z definicji musimy otrzymać wektor z prostej V.
Możemy więc powiedzieć, że wektor v jest kombinacją liniową wektorów x i y. Ogólnie: jeśli mamy wektory x1, x2, …, xn i liczby rzeczywiste k1, k2, …, kn, które nazywamy współczynnikami, kombinacją liniową tych wektorów jest wektor v, który otrzymujemy
$$\mathbf{v}=k_1\cdot \mathbf{x}_1+k_2\cdot \mathbf{x}_2 + \ldots + k_n\cdot \mathbf{x}_n.$$
Przykład: rozważmy przestrzeń ℝ2 i z niej dwa wektory: [2,3] i [0,8]. Teraz wybierzmy współczynniki: k1 = 2, k2 = 5 Łącząc liniowo te wektory ze współczynnikami k1, k2 otrzymujemy wektor
$$2\cdot\left[2{,}3\right]+5\cdot\left[0{,}8\right]=\left[4{,}6\right]+\left[0{,}40\right]=\left[4{,}46\right]$$
Widzimy, że otrzymaliśmy wektor [4,46], który jest częścią przestrzeni ℝ2. Gdybyśmy wybrali inne współczynniki, otrzymalibyśmy inny wektor. Dla k1 = 0, k2 = −1 mamy:
$$0\cdot\left[2{,}3\right]-1\cdot\left[0{,}8\right]=\left[0{,}0\right]+\left[0,-8\right]=\left[0,-8\right]$$
Wektory liniowo zależne
Kombinacje liniowe są powiązane z wektorami liniowo zależnymi lub liniowo niezależnymi. Zilustrujmy to przykładem: rozważmy przestrzeń wektorową ℝ2 i zbiór wektorów Q z tej przestrzeni:
$$Q=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[3, 5\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
Będziemy teraz zainteresowani pytaniem, czy możemy wyrazić dowolny z tych czterech wektorów jako kombinację liniową pozostałych trzech wektorów. Patrząc na wektory w ten sposób, widzimy, że wektor [3, 5] jest równy prostej sumie dwóch pierwszych wektorów.
$$\left[1{,}1\right]+\left[2{,}4\right]=\left[3{,}5\right]$$
Zatem wektor [3,5] jest kombinacją liniową wektorów [1,1] i [2,4]. Aby było zabawniej, usuniemy ten wektor ze zbioru Q. Otrzymamy nowy zbiór Q1, który ma postać:
$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
Czy możemy znaleźć tam jakikolwiek inny wektor, który jest kombinacją liniową pozostałych? Tak, wektor [10,18] jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wektorów dla k1 = 2, k2 = 4:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]=\left[2{,}2\right]+\left[8{,}16\right]=\left[10{,}18\right]$$
Ponownie, usuwając ten wektor, otrzymujemy:
$$Q_2=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right]\right\}$$
Pytamy ponownie - czy możemy otrzymać jeden z wektorów jako kombinację pozostałych? Nie możemy, żadna wielokrotność wektora [1,1] nie będzie równa wektorowi [2,4].
Otrzymaliśmy zbiór wektorów, w którym żaden z wektorów nie może być wyrażony jako kombinacja liniowa innych wektorów. Taki zbiór nazywamy liniowo niezależnym zbiorem wektorów. Jeśli jeden wektor można wyrazić jako kombinację pozostałych, nazywamy go wektorem liniowo zależnym. Jeśli nie można go wyrazić, mówimy o nim jako o wektorze liniowo niezależnym.
Wektor zerowy
Wektor zerowy 0 odgrywa ważną rolę w zależności liniowej. Wróćmy do zbioru wektorów Q1 i przestrzeni ℝ2. Zbiór Q1 wygląda następująco:
$$Q_1=\left\{\left[1{,}1\right], \left[2{,}4\right], \left[10, 18\right]\right\}$$
i wiemy już, że wektor [10, 18] jest zależny, ponieważ 2 · [1,1]+4 · [2,4] = [10, 18]. Co by się zatem stało, gdybyśmy od wyrażenia 2 · [1,1]+4 · [2,4] odjęli wektor [10, 18]? Albo gdybyśmy dodali jego wielokrotność −1? Wyglądałoby to następująco:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]$$
Wyrażenie to z pewnością byłoby równe wektorowi zerowemu:
$$2\cdot\left[1{,}1\right]+4\cdot\left[2{,}4\right]-\left[10, 18\right]=\left[0{,}0\right]$$
Z tego możemy wywnioskować interesującą własność. Jeśli zbiór wektorów x1, x2, …, xn jest liniowo zależny, to istnieją rzeczywiste współczynniki a1, a2, …, an takie, że
$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$
Co najmniej jeden współczynnik ai musi być niezerowy. Gdybyśmy mieli zastąpić wszystkie współczynniki zerem, zawsze otrzymalibyśmy poprawne równanie, a zatem otrzymalibyśmy, że każdy zbiór wektorów jest liniowo zależny, co z pewnością jest nonsensem. Rozumowanie stojące za poprzednim równaniem jest proste. Na przykład, jeśli wektor x1 jest liniowo zależny, oznacza to, że
$$a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{x}_1$$
Do tego równania wystarczy dodać −x1 i otrzymamy
$$-1\cdot\mathbf{x}_1 + a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{0}$$
Jak sprawdzić, czy wektory są zależne
Jeśli mamy wektory x1, x2, …, xn i chcemy dowiedzieć się, czy są one liniowo (nie)zależne, po prostu rozwiązujemy powyższe równanie
$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$
tzn. znaleźć współczynniki ai. Jeśli znajdujemy się w przestrzeni ℝ3, możemy mieć następujące wektory: [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5]. Ponieważ chcemy dowiedzieć się, czy są one zależne, rozwiązujemy to równanie:
$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Po prostu rozbijamy to równanie na podstawie definicji dodawania wektorów i mnożenia wektorów. Prawdą jest, że a1 · [1,2,3] = [a1,2a1,3a1] itd. rozkładamy w następujący sposób:
$$\left[a_1{,}2a_1{,}3a_1\right]+\left[2a_2, a_2{,}7a_2\right]+\left[a_3, -4a_3, 5a_3\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Teraz rozkładamy dodawanie. Zawsze dodajemy w tych samych współrzędnych, więc dodajemy pierwszą składową pierwszego wektora a1 z pierwszą składową drugiego wektora 2a2 z pierwszą składową trzeciego wektora a3, a wszystko to musi być równe pierwszej składowej wektora zerowego, czyli zeru. I tak dalej dla drugiego składnika. Otrzymujemy układ równań liniowych:
$$ \begin{array}{} a_1&+&2a_2&+&a_3&=&0\\ 2a_1&+&a_2&+&-4a_3&=&0\\ 3a_1&+&7a_2&+&5a_3&=&0\\ \end{array} $$
Możemy zapisać ten układ w postaci klasycznej macierzy:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} $$
Zauważmy, że kolumny tej macierzy są w rzeczywistości oryginalnymi wektorami. Pierwsza kolumna macierzy zawiera oryginalny wektor [1,2,3], trzecia kolumna zawiera wektor [1,−4,5] itd. Nie musisz więc zawsze dokonywać tych wszystkich skomplikowanych korekt podczas wykonywania obliczeń matematycznych, tworzysz tę macierz, umieszczając wektory, które chcesz sprawdzić, czy są zależne, w kolumnach, a następnie dodając kolumnę zerową.
Możemy rozwiązać system za pomocą metody eliminacji Gaussa. Zmodyfikujmy macierz do postaci krokowej. Najpierw dodajemy −2 do drugiego wiersza razy pierwszy wiersz i dodajemy −3 do trzeciego wiersza razy pierwszy wiersz:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$
Teraz możemy dodać do drugiego wiersza 3 wielokrotność trzeciego wiersza:
$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$
Nie musimy nawet dalej obliczać, udało nam się wyzerować jeden wiersz, co oznacza, że wektory są liniowo zależne. Możemy jednak obliczyć układ. Wybieramy parametr a3 = t. Następnie z równania
$$a_2+2a_3=0$$
które jest ostatnim wierszem macierzy, otrzymujemy równanie poprzez podstawienie a3 = t:
$$\begin{eqnarray} a_2+2t&=&0\\ a_2&=&-2t \end{eqnarray}$$
Teraz podstawiamy te wartości do pierwszego równania, tj. pierwszego wiersza macierzy:
$$\begin{eqnarray} a_1+2a_2+a_3&=&0\\ a_1-4t+t&=&0\\ a_1&=&3t \end{eqnarray}$$
W ten sposób otrzymujemy a1 = 3t, a2 = −2t, a3 = t. Jeśli podstawimy, na przykład, t = 3 po t, otrzymamy jedno konkretne rozwiązanie a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3. Możemy podłączyć te współczynniki do oryginalnego równania
$$a_1\cdot\left[1{,}2,3\right] + a_2\cdot\left[2{,}1,7\right] + a_3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
i otrzymujemy:
$$9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]=\left[0{,}0,0\right]$$
Dostosuj lewą stronę:
$$\begin{eqnarray} 9\cdot\left[1{,}2,3\right] + (-6)\cdot\left[2{,}1,7\right] + 3\cdot\left[1,-4{,}5\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9{,}18,27\right] + \left[-12,-6,-42\right] + \left[3,-12{,}15\right]&=&\left[0{,}0,0\right]\\ \left[9-12+3{,}18-6-12{,}27-42+15\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \left[0{,}0,0\right] &=& \left[0{,}0,0\right]\\ \end{eqnarray}$$
Widzimy, że jeśli jako współczynniki wybierzemy na przykład a1 = 9, a2 = −6, a3 = 3, to z wektorów [1,2,3], [2,1,7], [1,−4,5] otrzymamy wektor zerowy. Gdyby układ miał tylko jedno, zerowe rozwiązanie, to wektory byłyby liniowo niezależne.