Asocjatywność

Asocjatywność jest właściwością operacji takich jak dodawanie lub mnożenie. Przyjrzyj się poniższym dwóm zapisom dodawania:

$$(1 + 2) + 3\qquad \qquad 1 + (2 + 3)$$

Wyrażenia różnią się tylko miejscem nawiasu. Ale czy wyniki się różnią? Oba wyrażenia prowadzą do tego samego wyniku, suma jest zawsze równa 6. Jeśli umieszczenie nawiasów nie wpływa na wynik, mówimy, że operacja jest asocjacyjna. Dokładniej, możemy napisać, że operacja $a \circ b$ jest asocjacyjna, jeśli

$$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$$

Inną operacją asocjacyjną jest mnożenie, ponieważ

$$(2\cdot3)\cdot4 = 2\cdot(3\cdot4)=24$$

Operacje, które nie są asocjacyjne

Odejmowanie nie jest asocjatywne. Przykładem może być wyrażenie (10 − 4) − 3. Najpierw obliczamy różnicę w nawiasie i otrzymujemy 6 − 3, która jest równa 3. Ale jeśli spróbujemy obliczyć 10 − (4 − 3), ponownie najpierw obliczymy zawartość nawiasu i otrzymamy 10 − 1, czyli 9. Zatem operacja odejmowania nie jest asocjacyjna.

Podobnie operacja dzielenia nie jest asocjatywna. Dla przykładu, weźmy wyrażenie (64 / 4) / 2. Najpierw obliczamy nawias i otrzymujemy 16/2, czyli 8. Jeśli jednak umieścimy nawias w innym miejscu, otrzymamy 64 / (4 / 2), więc po obliczeniu nawiasu otrzymamy 64 / 2, czyli 32. Operacja dzielenia nie jest więc asocjacyjna.

Inną typową operacją, która nie jest asocjatywna, jest operacja potęgi:

$$\left(2^3\right)^4 \ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Asocjatywność odnosi się do pojedynczej operacji!

Należy pamiętać, że asocjatywność zawsze odnosi się do pojedynczej operacji. Jeśli mamy wyrażenie z trzema liczbami, ale nie mamy tej samej operacji, nie możemy użyć reguły asocjacji. Na przykład:

$$(1+2)\cdot3$$

Wyrażenie zawiera dwie operacje - dodawanie i mnożenie. Obie operacje są asocjatywne, ale nadal nie możemy użyć reguły asocjacji w tym momencie, nie możemy zmodyfikować jej na

$$1+(2\cdot3)$$

ponieważ wyrażenie zawiera dwie różne operacje. Aby użyć reguły asocjacji, obie operacje musiałyby być dodawaniem lub obie operacje musiałyby być mnożeniem.

Przecięcie i unia

Przecinanie się zbiorów jest asocjatywne. Na przykład:

$$(\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}3,5\right\}) \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

najpierw zmodyfikowalibyśmy, obliczając przecięcie zbiorów w nawiasach do

$$\left\{1{,}3\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

A przecięcie tych zbiorów jest równe {1}. Jeśli zamienilibyśmy nawiasy, otrzymalibyśmy

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap (\left\{1{,}3,5\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\})$$

a po dostosowaniu nawiasów:

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}5\right\}$$

A ponownie otrzymalibyśmy {1}. Widzimy, że umieszczenie nawiasów nie ma znaczenia, a zatem przecięcie zbiorów jest asocjatywne. Podobnie, unia zbiorów byłaby asocjacyjna.

Składanie słów / konkatenacja

Wyobraźmy sobie, że mamy operację konkatenacji dla części słów i oznaczałoby to po prostu konkatenację słów. Tak więc "count" + "tach" równałoby się "computer". taka operacja byłaby asocjacyjna. Na przykład, jeśli napisalibyśmy ("glow" + "ov") + "ka", najpierw dodalibyśmy nawiasy, aby uzyskać "glow" + "ka", co dałoby nam słowo "bulb". Jeśli zamienilibyśmy nawiasy "glow" + ("ov" + "ka"), otrzymalibyśmy "glow" + "ovka" po dodaniu nawiasów, co z kolei dałoby nam słowo "bulb".

Maksimum lub minimum jest asocjacyjne

Rozważmy operację $a \lor b$, która zwraca większą z dwóch liczb. Taka operacja byłaby asocjacyjna. W tym przykładzie zmienilibyśmy $(5 \lor 10) \lor 7$ na $10 \lor 7$, co dałoby 10. Dziesięć jest największą z trzech liczb. Jeśli przestawilibyśmy nawiasy, otrzymalibyśmy $5 \lor (10 \lor 7)$, która po modyfikacji jest $5 \lor 10$, która ponownie wynosi 10.

Minimum zachowałoby się dokładnie tak samo.