Matryca
Macierz nad bryłą P jest reprezentacją $\left\{1, 2, \ldots, n\right\} \times \left\{1, 2, \ldots, m\right\} \rightarrow P$. Macierz jest zwykle oznaczana dużymi literami: A = (…). A teraz po czesku.
Podstawowe pojęcia
Macierz to, w skrócie, rodzaj tabeli z n kolumnami i m wierszami, przy czym oznaczenie wierszy i kolumn nie zawsze musi być takie samo. Każda komórka tabeli zawiera pewną liczbę lub inne wyrażenie. Macierz nie musi być czysto numeryczna, chociaż na początku prawdopodobnie nie spotkasz się z innymi macierzami. Jak może wyglądać macierz:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&51\end{array}\right)$$
Ta macierz ma dwa wiersze i trzy kolumny. Elementy macierzy są oznaczone indeksami, a zamiast wielkiej litery używana jest mała litera: a11 = 0 lub a23 = 51. Pierwszy indeks wskazuje wiersz, a drugi indeks kolumnę.
Specjalne typy macierzy
Macierze mogą mieć różne właściwości, a niektóre macierze specjalne mają nawet własne nazwy.
Macierzkwadratowa to macierz o takiej samej liczbie wierszy i kolumn. Jeśli macierz nie jest kwadratowa, jest prostokątna. Przykład macierzy kwadratowej:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)$$
Macierzzerowa to macierz, która ma zera na wszystkich pozycjach. aij = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Macierzjednostkowa to macierz kwadratowa, która ma jedynki na głównej przekątnej i zera wszędzie indziej. Główna przekątna jest jak "przekątna" od lewej do prawej. Krótko mówiąc, są to liczby na współrzędnych, gdzie i = j.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$
Macierz schodkowa to macierz, która ma zerowe wiersze na końcu (lub nie ma zerowych wierszy), a każdy niezerowy wiersz ma więcej zer na początku niż poprzedni wiersz. Są to wszystkie macierze schodkowe:
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&\pi\\0&0&1\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right),\quad A_3=\left( \begin{array}{ccccc} 1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0 &0& 0& 0 &5 \end{array}\right)$$
Macierz transponowana do macierzy A jest macierzą AT, dla której zachodzi $a_{ij} = a^T_{ji}$, tzn. element, który był w i-tym wierszu i j-tej kolumnie będzie w j-tym wierszu i i-tej kolumnie w macierzy transponowanej. Krótko mówiąc, zamieniasz wiersze macierzy na kolumny.
$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)^T &=& \left(\begin{array}{ccc}0&8&47\\1&5&154\\5&23&2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\6&7&8\end{array}\right)^T&=&\left(\begin{array}{cc}3&6\\4&7\\5&8\end{array}\right) \end{eqnarray}$$
Macierzsymetryczna to macierz kwadratowa A, która spełnia równość A = AT. Elementy symetryczne na przekątnej są takie same. Możemy więc napisać, że $a_{ij}=a_{ji}$.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}9&3&4\\3&7&0\\4&0&2\end{array}\right)$$
Macierzantysymetryczna jest prawie taka sama jak macierz symetryczna, z wyjątkiem tego, że elementy po drugiej stronie mają przeciwne znaki: A = −AT Z tego powodu elementy na głównej przekątnej muszą być równe zero, ponieważ a = −a = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&-3&-4\\3&0&5\\4&-5&0\end{array}\right)$$
Macierzdiagonalna to macierz, która ma zera wszędzie z wyjątkiem głównej przekątnej. Mówiąc dokładniej, zera muszą być wszędzie indziej, a to, co znajduje się na głównej przekątnej, nie jest określone.
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&7&0\\0&0&2\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Podstawowe operacje na macierzach
Możemy dodawać macierze, możemy mnożyć macierze przez liczbę i możemy mnożyć macierze przez siebie nawzajem.
Dodawanie macie rzy jest dość intuicyjne. Jeśli macierze są tego samego typu (= ta sama liczba kolumn i wierszy), macierz wynikowa będzie miała sumy liczb na odpowiednich pozycjach w poprzednich macierzach. Jeśli dodamy macierze A + B = C, to $a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}$ jest prawdziwe.
$$\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}5&4&3\\10&20&30\\7&-54&-12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}5&5&8\\18&25&53\\54&100&-10\end{array}\right)$$
Dodawanie macierzy jest oczywiście przemienne i asocjatywne. A + B = B + A oraz A + (B + C) = (A + B) + C.
Mnożenie macierzy przez liczbę jest również intuicyjne. Bierzemy liczbę i mnożymy przez nią każdy element macierzy, nic więcej. k · A = k · aij.
$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&5&25\\40&25&115\\235&770&10\end{array}\right)$$
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy jest nieco gorszą sprawą, ponieważ nie jest już intuicyjne, jak można by się spodziewać. Nie wystarczy po prostu pomnożyć odpowiednie wyrazy. Przede wszystkim macierz musi spełniać kryterium, że liczba kolumn pierwszej macierzy musi być taka sama jak liczba wierszy drugiej macierzy. Reszta może być dowolna. Teraz możemy zdefiniować iloczyn (n to liczba kolumn pierwszej macierzy):
$$(A\cdot B)_{ij}=\sum_{p=1}^{n}a_{ip}\cdot b_{pj}$$
Tyle już wiesz, prawda? Teraz spróbuję wyjaśnić to mniej bystrym :-). Bierzemy pierwszy wiersz pierwszej macierzy i pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Teraz mnożymy pierwszy element z pierwszym elementem i dodajemy go z mnożeniem drugiego elementu z drugim elementem i dodajemy itd. W ten sposób otrzymamy element c11 w nowej macierzy C. Najlepszym przykładem będzie. Pomnóż dwie macierze:
$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right)$$
Teraz wybierz pierwszy wiersz pierwszej macierzy i pierwszą kolumnę drugiej macierzy:
$$A=\left(\begin{array}{cc}\fbox{1}&\fbox{2}\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\fbox{5}&6\\\fbox{7}&8\end{array}\right)$$
Dla ułatwienia zapisu, nowo utworzoną macierz oznaczymy jako C. Aby otrzymać pierwszy element tej macierzy, musimy obliczyć co następuje: $c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$ Zauważmy, że w indeksie pierwszy jest wiersz, a następnie kolumna. Po podstawieniu otrzymujemy: 1 · 5 + 2 · 7 = 19 Pierwszy element ma wartość 19:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&?\\?&?\end{array}\right)$$
Następny element, c12, uzyskuje się w ten sam sposób, ale bierzemy pierwszy wiersz i drugą kolumnę. To długie obliczenie zawsze daje wspólny element. Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna mają wspólny element we współrzędnych c11, pierwszy wiersz i druga kolumna ponownie c12. Poniższy rysunek ładnie to pokazuje:
Teraz szybko pomnożę resztę macierzy:
$$\begin{eqnarray} c_{12} &=& a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22.\\ c_{21} &=& a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43.\\ c_{22} &=& a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{eqnarray}$$
Wystarczy wpisać te liczby do macierzy:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right)$$
Poprawność wyniku możemy sprawdzić w Excelu lub OpenOffice Calc, które zawierają funkcje do pracy z macierzami. Można również skorzystać z interaktywnego kalkulatora mnożenia macierzy online.
Teraz kilka ogólnych informacji na temat mnożenia macierzy. Po pierwsze, mnożenie macierzy nie jest przemienne. Generalnie nie jest prawdą, że A · B = B · A, choć oczywiście może tak być. Ale mnożenie macierzy jest asocjatywne. Jest nawet rozdzielne z dodawaniem: A (B + C) = AB + AC. Jeśli pomnożymy dwie macierze $a_{ix}\cdot b_{xn}$, to wynikowa macierz będzie typu i × n (będzie miała tyle wierszy, ile wierszy ma pierwsza macierz i tyle kolumn, ile kolumn ma druga macierz).
Przykłady
Mamy następujące trzy macierze:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right),,B=\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right),,C=\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right).$$
Wykonaj iloczyn macierzy A · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}36&41&43\\90&98&106\\144&155&169\end{array}\right)$$
Wykonaj iloczyn macierzy B · A.
Należy pamiętać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc nie możemy z całą pewnością stwierdzić, że wynik będzie taki sam jak w poprzednim przykładzie. Musimy po prostu obliczyć wszystko od nowa:
$$\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}68&82&96\\86&112&138\\87&105&123\end{array}\right)$$
Wykonać iloczyn macierzy A · C i C · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}28&14\\67&50\\106&86\end{array}\right)$$
Nie możemy obliczyć drugiego przykładu, ponieważ liczba kolumn pierwszej macierzy różni się od liczby wierszy drugiej macierzy.
Podstawowe dopasowania macierzy
Aby efektywnie pracować z macierzami, musimy zdefiniować kilka podstawowych dopasowań macierzy. Po pierwsze, możemy pomnożyć wiersz/kolumnę macierzy przez liczbę różną od zera. Mnożenie będzie wyglądać tak samo jak k-multiply matrix, ale tylko w tym wierszu/kolumnie.
Drugą modyfikacją jest dodanie k-times j-tego wiersza do i-tego wiersza. To samo dotyczy kolumn. Brzmi trochę przerażająco, ale w rzeczywistości jest to proste. Zademonstrujmy to dla k = 1. Będziemy mieli tę macierz:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Teraz dodajemy drugi wiersz do pierwszego. Bierzemy więc drugi wiersz i dodajemy liczby w równoważnych pozycjach do liczb w pierwszym wierszu. Nic się nie dzieje z liczbami w drugim wierszu, zmienia się tylko pierwszy wiersz:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Teraz możemy kontynuować modyfikacje. Spróbujmy teraz dodać dwa razy pierwszy wiersz do trzeciego wiersza. Wyjmij pierwszy wiersz z tej nowo utworzonej macierzy, pomnóż go przez dwa, aby uzyskać wiersz (10, 14, 18) i dodaj te liczby do trzeciego wiersza. Ponownie - pierwszy wiersz się nie zmieni, zmieni się tylko trzeci wiersz:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\17&22&27\end{array}\right)$$
Teraz ponownie dodaj sumę pierwszego i drugiego wiersza do trzeciego wiersza. Zasadniczo nie jest to nic nowego, ponieważ jeśli dodamy najpierw drugi wiersz, a następnie pierwszy wiersz do trzeciego wiersza, musimy uzyskać ten sam wynik. Suma pierwszego i drugiego wiersza będzie równa: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15) Suma tego wiersza z trzecim wierszem będzie wtedy równa: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\26&34&42\end{array}\right)$$
I jeszcze jedno dopasowanie kolumn (zwykle nie są one używane tak często, ponieważ nie są tak jasne). Dodajmy pierwszą kolumnę do drugiej kolumny:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\4&9&6\\26&60&42\end{array}\right)$$
I po raz ostatni pomnóżmy drugi wiersz przez dwa:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\8&18&12\\26&60&42\end{array}\right)$$
Zależność liniowa
Wyjaśnijmy teraz, czym są zależne wiersze/kolumny. Wiersz jest liniowo zależny, jeśli można go wyrazić jako liniową kombinację innych wierszy macierzy. Krótko mówiąc, jeśli jesteś w stanie dodawać wiersze na różne sposoby, tak aby uzyskać wiersz, którego szukasz, wiersz ten jest liniowo zależny. Przykład:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)$$
Jeśli weźmiesz dwa razy pierwszy i drugi wiersz, otrzymasz trzeci wiersz. Jeśli odejmiesz tę kombinację od trzeciego wiersza, otrzymasz wiersz zerowy (wiersz zawierający same zera). Ten wiersz jest zależny. Dokonujemy więc korekty w następujący sposób (mnożymy pierwszy wiersz przez dwa, dodajemy do drugiego wiersza, odejmujemy od trzeciego wiersza):
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\4&5&6\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\0&0&0\end{pmatrix}$$
Jeśli mamy macierz A, która ma n wierszy, a Ai oznacza i-ty wiersz, to mówimy, że macierz nie zawiera liniowo zależnego wiersza, jeśli:
$$\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\ldots+\alpha_nA_n={\bf 0}$$
tylko wtedy, gdy α1, α2, …, αn = 0. Zero po prawej stronie równania reprezentuje rząd zerowy. To znaczy, jeśli jedynym rozwiązaniem tego równania jest rozwiązanie zerowe. Jeśli znajdziemy inne rozwiązanie, macierz zawiera liniowo zależny wiersz. Podobnie w przypadku kolumny. W przypadku poprzedniej macierzy prawdą jest, co następuje:
$$\begin{eqnarray} &&2\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\\ &&=\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
Zatem wartości alfa wynoszą α1 = 2, α2 = 1, α3 = −1.
Liczba niezależnych wierszy lub kolumn wskazuje na rangę macierzy.
Macierze regularne i osobliwe
Macierz jest nazywana regularną, jeśli ma maksymalny rząd (tj. jeśli nie ma liniowo zależnych wierszy) i jeśli jest macierzą kwadratową. Macierz kwadratowa jest nazywana osobliwą, jeśli nie jest regularna (tj. jeśli macierz zawiera co najmniej jeden liniowo zależny wiersz). Te dwa pojęcia są dość ważne, a raczej często opierają się na nich pewne definicje. Wiele rzeczy jest definiowanych tylko wtedy, gdy macierz jest regularna.