Wyznaczniki

W algebrze liniowej wyznacznik jest reprezentacją, która przypisuje każdej macierzy kwadratowej A skalar, który nazywamy |A|. W przypadku macierzy numerycznych wyznacznik jest równy pewnej liczbie rzeczywistej.

Permutacja wyznacznika

Aby zdefiniować wyznacznik, musimy wiedzieć, jak obliczyć permutację entice lub permutację permutacji. Najlepiej wyjaśnić to na przykładzie. Mamy uporządkowaną trójkę <1, 2, 3>, która jest wyświetlana na trójce <2, 3, 1>. Zwykle w przypadku permutacji przepisujemy ją w następujący sposób:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} $$

Teraz musimy dowiedzieć się, ile różnych zamiany liczb musieliśmy użyć, aby uzyskać drugi zestaw z pierwszego zestawu. Możemy zamieniać tylko liczby znajdujące się obok siebie. Mamy więc trójkę <1, 2, 3>. Teraz zamieniamy jeden z dwoma: <2, 1, 3> Teraz zamieniamy jedynkę z trójką: <2, 3, 1>, co daje nam permutację, której szukamy. Potrzebowaliśmy dwóch zamian, aby uzyskać obraz. Znak permutacji jest łatwy do znalezienia - jeśli liczba zamian jest parzysta, znak jest dodatni. Jeśli liczba jest nieparzysta, znak jest ujemny. W naszym przypadku jest to permutacja ze znakiem dodatnim. Spróbujmy określić znak permutacji dla tego przykładu:

$$ \begin{pmatrix} 4&2&3&1\\1&3&4&2 \end{pmatrix} $$

Postępujemy w następujący sposób:

$$\left<4, 2, 3, 1\right> \rightarrow \left<4, 2, 1, 3\right> \rightarrow \left<4, 1, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 3, 2\right> \rightarrow \left<1, 3, 4, 2\right>$$

Modyfikacja została wykonana. Potrzebowaliśmy w sumie pięciu modyfikacji, więc tym razem otrzymaliśmy permutację ze znakiem nieparzystym.

Oznaczamy tę permutację symbolem Leviego-Civita:

$$ \epsilon_{i_1,…,i_n}= \begin{cases} +1 & \mbox{ Jeśli }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ jest permutacją parzystą } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ -1 & \mbox{ Jeśli }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ jest nieparzystą permutacją } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ 0 & \mbox{ W przeciwnym razie } \end{cases}$$

Definicja wyznacznika

Wyznacznik jest liczbą; jest definiowany tylko na macierzach kwadratowych i jest zapisywany jako det A lub |A|. Liczba ta jest zdefiniowana w następujący sposób:

$$|A|=\sum_{i_1,\ldots,i_n}^n\epsilon_{i_1,\ldots,i_n}a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \ldots \cdot a_{ni_n}$$

Spróbujmy obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej rzędu 2×2:

$$A= \begin{pmatrix} 4&2\\ 1&3 \end{pmatrix} $$

Jeśli podstawimy konkretną wartość n = 2 do definicji, otrzymamy następujący wzór:

$$|A|=\sum_{i_1, i_2}^2=\epsilon_{i_1, i_2} \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Zastępując kolejno wartości 1 i 2 wartościami i₁ i i₂ otrzymujemy cztery możliwości: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

W przypadku opcji a) i d) otrzymujemy zerową permutację, ponieważ ε_1,1 = 0 i ε_2,2 = 0. Zatem w sumie we wzorze w tym kroku otrzymujemy zero, ponieważ $0 \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=0$.

Pozostałe opcje to b) i c). W przypadku b) i₁ = 1, i₂ = 2 otrzymujemy: e_1,2 = 1, ponieważ <1, 2> jest parzystą permutacją <1, 2>. Otrzymujemy pierwszą sumę:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot3=12$$

W pozostałym przypadku mamy i₁ = 2, i₂ = 1. Wartość ε₂₁ jest równa −1. Otrzymujemy drugie uzupełnienie:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot2\cdot1=-2$$

Teraz dodajemy wszystkie cztery przypadki a) + b) + c) + d) i otrzymujemy

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Wyznacznik macierzy A jest równy dziesięć.

Możemy zauważyć, że ostatecznie obliczyliśmy wyznacznik macierzy jako różnicę

$$|A|=a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$$

Wzór ten ma ogólne zastosowanie do dowolnej macierzy rzędu 2×2.

Reguła Sarrusa

Korzystając z reguły Sarrusa, obliczamy wyznacznik macierzy trzeciego rzędu. Wyznacznik ten jest nieco bardziej skomplikowany. Obliczmy więc na przykład tę macierz:

$$A=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\end{pmatrix}$$

Teraz będziemy postępować podobnie jak w przypadku macierzy drugiego rzędu, ale dla przejrzystości rozszerzymy tę macierz o dwa kolejne wiersze - opiszemy dwa pierwsze wiersze macierzy pod tą macierzą:

$$A'=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\\5&3&2\\1&7&-8\end{pmatrix}$$

Pierwszy i czwarty wiersz macierzy są więc takie same, podobnie jak drugi i piąty. Teraz dodajemy wielokrotności elementów na głównych przekątnych i odejmujemy od nich sumę wielokrotności mniejszych przekątnych. Po dodaniu otrzymujemy:

$$|A|=[5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (-8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (-8) \cdot (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1]=140$$

Własności wyznacznika

• Jeśli pomnożymy wiersz lub kolumnę macierzy A przez c ≠ 0, otrzymamy macierz A', a dla ich wyznaczników będą obowiązywać następujące zasady: c|A| = |A'| Jeśli więc pomnożymy wiersz macierzy przez trzy i obliczymy wyznacznik, to wyznacznik oryginalnej macierzy otrzymamy dzieląc bieżący wynik przez trzy.

• Pomnożenie i-tego wiersza i dodanie go do j-tego wiersza nie zmienia wyznacznika macierzy. Ponownie wykonaj to samo dla kolumn.

• Jeśli co najmniej jeden wiersz macierzy jest równy zero, wyznacznik macierzy będzie równy zero.

• Regularna macierz zawsze będzie miała wyznacznik różny od zera, a macierz osobliwa zawsze będzie miała wyznacznik równy zero.

• Wyznacznik macierzy w postaci schodkowej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej.

• Jeśli zamienimy dwa wiersze macierzy, znak wyznacznika ulegnie zmianie.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Z powyższych własności wynika stosunkowo prosta procedura obliczania wyznacznika. Wystarczy ułożyć macierz w postaci schodkowej, a następnie pomnożyć elementy na głównej przekątnej. Zaczynamy:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Korzystając ze standardowego dopasowania macierzy, dopasowujemy teraz macierz do kształtu schodkowego:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&8&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&0&-107 \end{pmatrix} $$

Teraz wykonujemy iloczyn elementów na przekątnej: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Oblicz wyznacznik tej macierzy:

$$A=\begin{pmatrix} 3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1 \end{pmatrix} $$

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest zamiana pierwszego i drugiego wiersza, aby uzyskać najmniejszą liczbę w górę. Nie możemy jednak zapomnieć o zmianie znaku:

$$ \left|\begin{matrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Następnie przydatne będzie pomnożenie drugiego wiersza przez dwa, abyśmy mogli ładnie dodać. Nie możemy zapomnieć o pomnożeniu całego wyznacznika przez połowę:

$$ -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Teraz postępujemy klasycznie:

$$\begin{eqnarray} -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&-17&-14&-18\\0&-17&-9&-11\end{matrix}\right| \\ &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&4&-3\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&0&-43\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \cdot 2 \cdot (-17) \cdot (-1) \cdot (-43) = 731 \end{eqnarray}$$

Rozwinięcie Laplace'a

Laplace był uprzejmym dżentelmenem, który opracował dla nas inny algorytm obliczania wyznaczników macierzy. Aby zrozumieć tę książkę kucharską, musimy wiedzieć, jak obliczyć specjalną podmacierz oryginalnej macierzy. Otrzymujemy macierz A i musimy utworzyć podmacierz, która powstaje przez usunięcie jednego wiersza i jednej kolumny z macierzy A. Nazwiemy tę nową macierz S^A_ij, co mówi nam, że usunęliśmy i- ten wiersz i j- tę kolumnę z macierzy A. Przykład:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Podmacierz S^A₁₂ miałaby następującą postać:

$$ S^A_{12}=\begin{pmatrix} 2&0\\-2&5 \end{pmatrix} $$

Następnie definiujemy termin minor, który jest niczym innym jak wyznacznikiem podmacierzy S^A_ij, którą zdefiniowaliśmy. Oznaczamy minor w ten sam sposób, ale literą M, tj. $M^A_{ij}=|S^A_{ij}|$. Możemy również rozważyć minor elementu a_ij, który jest po prostu M^A_ij.

Korzystając z tych minorów, możemy obliczyć wyznacznik oryginalnej macierzy. W pierwszym kroku wybieramy wiersz (lub kolumnę) macierzy. Następnie dla każdego elementu tego wiersza obliczamy jego wartość mniejszą. W ten sposób otrzymujemy tyle minorów, ile elementów ma wiersz. Teraz możemy wyrazić wyznacznik oryginalnej macierzy A typu n × n jako ważoną sumę tych minorów:

$$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M^A_{ij}$$

gdzie i jest naszym wybranym wierszem. Jeśli wykonamy iterację po zmiennej i, ustalimy zmienną j - indeks kolumny.

W praktyce wygląda to tak, że mamy macierz i chcemy poznać jej wyznacznik. Bierzemy więc jedną kolumnę macierzy (lub wiersz) i każdemu elementowi w tej kolumnie określamy minor i przypisujemy znak (−1)^{i + j} i sumujemy wszystko, mnożąc każdy wyznacznik przez element, którego minor jest macierzą. Ponieważ minor M^A_ij jest nadal mnożony przez element a_ij, wygodnie jest, jeśli ten element wynosi zero. Eliminuje to dalsze liczenie i oszczędza pracy. Spróbujmy obliczyć wyznacznik tej macierzy:

$$A=\begin{pmatrix}5&4&8\\6&1&0\\2&3&9\end{pmatrix}$$

W macierzy znajduje się jedno zero, więc w idealnym przypadku rozwinięcie odbywa się albo przez drugi wiersz, albo przez trzecią kolumnę. Wybierzmy na przykład wiersz. W pierwszym kroku wyodrębniamy podmacierz:

$$\begin{eqnarray} S^A_{21}&=&\begin{pmatrix}4&8\\3&9\end{pmatrix}\\ S^A_{22}&=&\begin{pmatrix}5&8\\2&9\end{pmatrix}\\ S^A_{23}&=&\begin{pmatrix}5&4\\2&3\end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Teraz obliczamy wyznaczniki, co daje nam wartości minimalne. Dla macierzy drugiego rzędu jest to trywialne.

$$\begin{eqnarray} M^A_{21}&=&\left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right|=12\\ M^A_{22}&=&\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|=29\\ M^A_{23}&=&\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|=7\\ \end{eqnarray}$$

Teraz możemy podłączyć to do wzoru, i = 2:

$$\begin{eqnarray} |A|&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot \left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right| + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|+(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|\cdot0\\ &=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot 12 + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot29+(-1)^{2+3}\cdot7\cdot0=-43 \end{eqnarray}$$

Zauważmy, że ponieważ element na końcu drugiego wiersza jest równy zero, otrzymujemy również trzeci dodatek równy zero. Inny przykład:

Oblicz wyznacznik tej macierzy metodą Laplace'a:

$$A=\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}$$

W trzeciej kolumnie mamy wszystkie wielokrotności trójki, możemy to wykorzystać i wyzerować tę kolumnę, aby przygotować grunt pod późniejsze zastosowanie metody Laplace'a. Tak więc do drugiego wiersza dodajemy −2 wielokrotność pierwszego wiersza, do trzeciego wiersza dodajemy −3 wielokrotność pierwszego wiersza, a do czwartego −1 wielokrotność.

$$ \begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}7&2&3&2\\-8&2&0&3\\-13&4&0&4\\-2&5&0&1\end{pmatrix} $$

Nie zmieniło to wartości wyznacznika, ale ułatwi obliczenia. Wykonajmy rozwinięcie przez trzecią kolumnę, w której mamy tylko jeden niezerowy element, pozostawiając nam tylko mniejszy od trzeciego elementu pierwszego wiersza w rozwinięciu:

$$ \left|\begin{matrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{matrix}\right| (-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| $$

W trzeciej kolumnie nowej macierzy widzimy jedynkę na samym końcu, co możemy łatwo wykorzystać i wyzerować tę kolumnę:

$$ \begin{pmatrix} -8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1 \end{pmatrix} $$

Teraz wykonamy rozwinięcie zgodnie z trzecią kolumną. Ponownie, jest tylko jeden niezerowy element:

$$ 3\left|\begin{matrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\cdot\left((-1)^{3+3}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\right) 3\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right| $$

Możemy to obliczyć klasycznie: 3 · (32 − 65) = −99.