Układy równań liniowych

Liniowy układ równań to zbiór m równań liniowych o n zmiennych. Rozwiązując równania, otrzymujemy wartości, które możemy zastąpić naszymi n zmiennymi, aby wszystkie równania miały sens.

Definicja układu równań liniowych

Na pewno spotkałeś się z jakimś prostym układem typu

$$ \begin{array}{ccccc} a_{11}x &+&a_{12}y &=& b_1\\ a_{21}x &+&a_{22}y &=&b_2\\ \end{array} $$

gdzie $a_{11},…,a_{22}, b_1, b_2$ są podanymi liczbami rzeczywistymi, a x i y są zmiennymi. Taki układ równań może mieć różną liczbę rozwiązań - brak, jedno lub nieskończenie wiele, podobnie jak klasyczne równanie liniowe. W przypadku układu równań liniowych kwestia liczby rozwiązań i ich znalezienia jest bardziej skomplikowana niż w przypadku prostego równania liniowego.

Definicja układu równań liniowych:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_n\\ \end{array} $$

gdzie $a_{11}, …, a_{mn}, b_1, …, b_m$ są liczbami rzeczywistymi. Układ ten nazywany jest wówczas układem m równań liniowych o n niewiadomych x₁, …, x_n i współczynnikach $a_{11}, …, a_{mn}$. Konkretny przykład układu równań liniowych może wyglądać następująco:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&+&-2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&+&4x_2&+&2x_3&+&-10x_4&=&2\\ 11x_1&+&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Ale jeśli którykolwiek a_ij jest ujemny, zwyczajowo zapisuje się go w tej formie:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&+&4x_2&+&2x_3&-&10x_4&=&2\\ 11x_1&+&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Jednak nadal prawdą jest, że a₁₂ = −2 i a₂₄ = −10.

Notacja macierzowa

Możemy przekonwertować ten system do postaci macierzy. Definiujemy w sumie trzy macierze, jedną dla współczynników, jedną dla prawej strony równań i jedną dla samych zmiennych. Macierze będą wyglądać następująco:

$$ A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn} \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}, \quad x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} $$

Macierz A zawiera współczynniki oryginalnych równań i jest nazywana "macierzą układu", macierz b zawiera prawe strony równań, a macierz x zawiera zmienne. Następnie możemy zapisać cały układ równań jako równanie

$$Ax,=,b$$

To równanie ma sens, ponieważ po lewej stronie mamy iloczyn dwóch macierzy, a po prawej stronie mamy macierz, a ich wymiary są takie same. Możemy spróbować pomnożyć lewą stronę. Mnożymy macierz typu m × n przez macierz typu n × 1, więc wynikowa macierz będzie typu m × 1, z m wierszami i jedną kolumną. Na razie jest w porządku.

Teraz wykonujemy klasyczny algorytm mnożenia macierzy, zaczynając od pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy x (nie ma innej kolumny). Otrzymujemy:

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n$$

Dzięki tej sumie otrzymaliśmy pierwszy element nowej macierzy, czyli wartość b₁. Wstawiając całość do równania, mamy:

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1$$

Otrzymaliśmy dokładnie pierwsze równanie naszego układu równań. Kontynuujemy w ten sam sposób dla pozostałych wierszy. Nadal definiujemy rozszerzoną macierz układu, która jest macierzą układu, do której dodajemy macierz b w następujący sposób:

$$ B=(A|b)= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}&b_m \end{pmatrix} $$

Następnie będziemy zainteresowani rangą tej rozszerzonej macierzy układu. Rangę oryginalnej, nierozszerzonej macierzy systemowej oznaczymy przez rank(A), a rangę macierzy rozszerzonej przez rank(A|b). Jaki jest związek między tymi rangami? Jeśli dodamy kolumnę b do macierzy A, mogą wystąpić dwie sytuacje: jeśli ta nowa kolumna jest kombinacją liniową kolumn macierzy A, to ranga nie ulega zmianie. Jeśli nie była to kombinacja liniowa, to ranga będzie o jeden większa.

Twierdzenie Frobeniusa

Ranga macierzy rozszerzonej będzie dla nas ważna, ponieważ ważne jest twierdzenie Frobeniusa: układ równań Ax = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy układu jest równa randze macierzy układu rozszerzonego: rank(A) = rank(A|b).

Spróbujmy pokazać, że twierdzenie to jest prawdziwe w co najmniej jednym kierunku - jeśli x = β jest rozwiązaniem równania Ax = b, to rank(A) = rank(A|b). Jeśli te rangi są równe, to musi być tak, że kolumna b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. Rozłóżmy to na czynniki pierwsze. Macierz β ma postać:

$$ \beta=\begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} $$

Twierdzimy, że jeśli zastąpimy β₁ itd. po x₁, to wszystkie równania w układzie równań są prawidłowe:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}\beta_1&+&a_{12}\beta_2&+&\ldots&+&a_{1n}\beta_n&=&b_1\\ a_{21}\beta_1&+&a_{22}\beta_2&+&\ldots&+&a_{2n}\beta_n&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\beta_1&+&a_{m2}\beta_2&+&\ldots&+&a_{mn}\beta_n&=&b_m\\ \end{array} $$

Teraz przepiszmy trochę równania. Jeśli spojrzymy na pierwszą kolumnę, zauważymy, że zawsze istnieją wartości $a_{11}, a_{21}, …, a_{m1}$, które mnożymy przez tę samą wartość β₁. Jeśli wyodrębnimy kolumnę do osobnej macierzy, możemy umieścić rangę β₁ przed macierzą, co daje nam:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}\beta_1\\ a_{21}\beta_1\\ \vdots\\ a_{m1}\beta_1 \end{pmatrix} =\beta_1 \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix} $$

Możemy teraz przepisać cały układ w ten sposób:

$$ \beta_1\begin{pmatrix} a_{11}\a_{21}\a_vdots\a_{m1} \end{pmatrix} + \beta_2\begin{pmatrix} a_{12}\a_{22}\a_vdots\a_{m2} \end{pmatrix} +...+ \beta_n\begin{pmatrix} a_{1n}\a_{2n}\a_{2n}\a_{vdots\a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\b_2\vdots\a_m \end{pmatrix} $$

Aby to równanie było prawdziwe, macierze kolumnowe po lewej stronie muszą być kombinacją liniową macierzy po prawej stronie, a wartości β₁, …, β_n muszą być ich współczynnikami.

W ten sposób udowodniliśmy, że aby macierz β była rozwiązaniem układu równań, prawa strona układu, macierz b, musi być kombinacją liniową kolumn macierzy układu. A jeśli kolumna macierzy b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A, to macierz A musi mieć taką samą wartość jak macierz (A|b).

Jednocześnie, jeśli rank(A) = rank(A|b) = k i k są równe liczbie niewiadomych, tj. k = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli k < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i będziemy potrzebować n − k parametrów, aby go zapisać.

Podstawowe modyfikacje liniowe

Następnie możemy zobaczyć z poprzedniego równania, że jeśli dokonamy elementarnych korekt wiersza w macierzy (A|b), rozwiązanie układu równań nie ulegnie zmianie. Gdybyśmy dodali pierwszy wiersz do drugiego wiersza, otrzymalibyśmy równanie:

$$ \beta_1\begin{pmatrix} a_{11}\a_{21}+a_{11}\a_vdots\a_{m1} \end{pmatrix} + \beta_2\begin{pmatrix} a_{12}\a_{22}+a_{12}\a_{12}\a_vdots\a_{m2} \end{pmatrix} +...+ \beta_n \begin{pmatrix} a_{1n}\a_{2n}+a_{1n}\a_{1n}\a_{vdots\a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\a_2+b_1\a_vdots\a_{m} \end{pmatrix} $$

Jeśli rozbijemy drugi wiersz, otrzymamy:

$$\beta_1(a_{21}+a_{11})+\beta_2(a_{22}+a_{12})+\ldots+\beta_n(a_{2n}+a_{1n})=b_1+b_2$$

Pomnóż nawiasy:

$$\beta_1a_{21}+\beta_1a_{11}+\beta_2a_{22}+\beta_2a_{12}+\ldots+\beta_na_{2n}+\beta_na_{1n}=b_1+b_2$$

Teraz musimy to trochę zmienić:

$$(\beta_1a_{11}+\beta_2a_{12}+\ldots+\beta_na_{1n})+(\beta_1a_{21}+\beta_2a_{22}+\ldots+\beta_na_{2n})=b_1+b_2$$

Mamy pierwszy wiersz w pierwszym nawiasie i oryginalny drugi wiersz w drugim nawiasie. Wiemy, że pierwszy wiersz jest równy b₁, a drugi wiersz jest równy b₂. Wiemy to z oryginalnych równań. Możemy więc napisać b₁ po pierwszym nawiasie i b₂ po drugim nawiasie:

$$b_1+b_2=b_1+b_2.$$

Podobnie, możemy pomnożyć cały wiersz przez stałą c ≠ 0 i nie zmienimy ważności układu równań. Należy jednak pamiętać, że nie możemy dokonać korekty kolumn.

Układ z jednym rozwiązaniem

Posłużymy się przykładem, aby pokazać, jak rozwiązać układ, który ma dokładnie jedno rozwiązanie. Miejmy taki układ równań:

$$ \begin{array}{ccccccc} 2x_1&+&3x_2&+&7x_3&=&47\\ 3x_1&+&8x_2&+&x_3&=&50\\ &&3x_2&+&3x_3&=&27\\ \end{array} $$

Macierz A będzie wyglądać następująco:

$$ A=\begin{pmatrix} 2&3&7\\ 3&8&1\\ 0&3&3 \end{pmatrix} $$

Teraz obliczymy rangę tej macierzy:

$$ \begin{pmatrix} 2&3&7\\ 3&8&1\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 6&16&2\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&7&-19\\ 0&3&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&21&-57\\ 0&21&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 6&9&21\\ 0&21&-57\\ 0&0&78 \end{pmatrix} $$

Widzimy, że rank(A) = 3. Wynika z tego również, że rank(A|b) = 3, ponieważ macierz typu 3 × 4 może mieć maksymalny rząd równy trzy. Układ ma trzy niewiadome, więc cały układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jak je znaleźć?

Metoda eliminacji gaussowskiej

Eliminacja gaussowska polega na modyfikacji macierzy rozszerzonej układu do postaci schodkowej. Przekształcając macierz do postaci krokowej, jesteśmy w stanie znaleźć wartość jednej zmiennej. Po znalezieniu wartości jednej zmiennej możemy zacząć wprowadzać tę wartość do pozostałych równań.

Macierz (A|b) ma postać:

$$ (A|b)=\begin{pmatrix} 2&3&7&47\\ 3&8&1&50\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} $$

Przekształćmy ją do postaci schodkowej. Dokonamy tych samych korekt, co w poprzednim kroku, ale tym razem zastosujemy je do czwartej kolumny:

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&3&7&47\\ 3&8&1&50\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 6&16&2&100\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&7&-19&-41\\ 0&3&3&27 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&21&-57&-123\\ 0&21&21&189 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&9&21&141\\ 0&21&-57&-123\\ 0&0&78&312 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Ponieważ dokonaliśmy elementarnych korekt wierszy, macierz ta opisuje równoważny układ równań - układ, który ma ten sam zestaw rozwiązań. Przepiszmy układ z notacji macierzowej na notację zwykłą, używając współczynników z naszej ostatniej macierzy:

$$ \begin{array}{ccccccc} 6x_1&+&9x_2&+&21x_3&=&141\\ &&21x_2&-&57x_3&=&-123\\ &&&&78x_3&=&312\\ \end{array} $$

Teraz wychodzimy z ostatniego równania. To mówi nam, że 78x₃ = 312. Jaką wartość musi mieć x₃? Jest to proste równanie liniowe, więc

$$\begin{eqnarray} 78x_3&=&312\\ x_3&=&\frac{312}{78}\\ x_3&=&4 \end{eqnarray}$$

Mamy wartość pierwszej zmiennej, x₃. Wstawiamy tę wartość do drugiego równania. Otrzymujemy równanie:

$$\begin{eqnarray} 21x_2-57x_3&=&-123\\ 21x_2-57\cdot4&=&-123\\ 21x_2&=&-123+228\\ 21x_2&=&105\\ x_2&=&\frac{105}{21}\\ x_2&=&5 \end{eqnarray}$$

I wreszcie, podłączamy dwie obliczone wartości do pierwszego równania:

$$\begin{eqnarray} 6x_1+9x_2+21x_3&=&141\\ 6x_1+9\cdot5+21\cdot4&=&141\\ 6x_1+45+84&=&141\\ 6x_1&=&12\\ x_1&=&2 \end{eqnarray}$$

Wartość zmiennej x₁ jest równa dwa. W tym momencie mamy kompletne rozwiązanie. Możemy napisać, że x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Jak widać, metoda eliminacji Gaussa jest prostą, ale skuteczną metodą rozwiązywania układów równań liniowych.

Nieskończenie wiele rozwiązań

Jeśli rank(A) = rank(A|b) = k i k jest mniejsza niż liczba niewiadomych, k < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozważmy prosty przykład:

$$ \begin{array}{cccccc} 4x_1&+&x_2&=&5\\ 12x_1&+&3x_2&=&15\\ \end{array} $$

Widzimy, że drugie równanie jest równe trzykrotności pierwszego równania. Jeśli pomnożymy pierwsze równanie przez minus trzy i dodamy je do drugiego wiersza, otrzymamy:

$$ \begin{array}{cccccc} 4x_1&+&x_2&=&5\\ 0x_1&+&0x_2&=&0\\ \end{array} $$

W tym momencie mamy liczbę zmiennych równą dwa, n = 2, ranga macierzy układu jest równa jeden, rank(A) = 1, a ranga macierzy rozszerzonej jest również równa jeden, rank(A|b) = 1. Prawdą jest, że k < n, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jak znaleźć te rozwiązania?

Przyjrzyjmy się równaniom. Drugie równanie jest spełnione dla wszystkich x₁, x₂, więc będziemy zainteresowani tylko pierwszym równaniem. W rzeczywistości wszystkie pary x₁, x₂, które spełniają pierwsze równanie, utworzą zbiór wszystkich rozwiązań danego układu równań. Obliczamy więc rozwiązanie równania 4x₁ + x₂ = 5. Modyfikujemy równanie tak, aby utworzyć równanie x₂ = 5 − 4x₁.

Następnie użyjemy parametru. Wybieramy parametr t. Teraz spróbujemy wyrazić parę x₁, x₂ za pomocą parametru t, abyśmy mogli napisać, że na przykład wszystkie pary postaci (t, t + 2) są rozwiązaniami układu. Czyli pary typu (1, 3) lub (14, 16). Chodzi o to, by wyrazić wartość jednej zmiennej za pomocą innej zmiennej, tak byśmy wiedzieli, że jeśli wartość x₁ jest taka i taka, to wartość x₂ będzie na przykład trzy razy większa. Wybieramy x₁ jako punkt wyjścia.

W ten sposób ustawiamy równość t = x₁. Jeśli zmienna x₁ ma wartość t, to jaką wartość będzie miała zmienna x₂? Widzimy to z poprzedniego równania, będzie ona miała wartość x₂ = 5 − 4x₁. Zatem jeśli x₁ = t, to x₂ = 5 − 4t. Możemy zatem napisać, że wszystkie pary postaci (t, 5 − 4t) są rozwiązaniami układu równań.

Możemy to sprawdzić. Jeśli podstawimy jeden po t, otrzymamy: x₁ = 1 i x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Podstawiając te wartości do równania: 4 · 1 + 1 = 5, równanie pasuje.

Jeśli po t wstawimy pięć, otrzymamy: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Po wstawieniu ich do równania otrzymamy: 4 · 5 − 15 = 5 Pasuje.

Rozwiązania ogólne i częściowe

Rozwiązanie układu równań zapisane za pomocą parametrów nazywane jest rozwiązaniem ogólnym. Konkretne rozwiązanie, tj. jeśli po parametrach podstawimy konkretne liczby, nazywane jest rozwiązaniem częściowym.

Z poprzedniego przykładu: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) jest rozwiązaniem ogólnym układu równań, (1, 1) i (5, −15) są rozwiązaniami częściowymi.

Jeśli mamy macierz układu A i rozszerzoną macierz układu (A|b), a ich rangi są równe, rank(A) = rank(A|b) = k, to potrzebujemy parametrów n − k, aby wyrazić rozwiązanie ogólne. Zauważ, że jeśli n = k, to potrzebujemy zero parametrów. Dzieje się tak, gdy system ma dokładnie jedno rozwiązanie - wtedy nie jest potrzebny żaden parametr.

Przykład

Rozwiąż następujący układ równań liniowych:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&-&4x_2&+&2x_3&+&10x_4&=&2\\ 11x_1&-&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

Najpierw obliczamy rangę macierzy A i (A|b). Przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci schodkowej, na podstawie której znajdujemy rangę obu macierzy. Przechodzimy do edycji. (Mnożymy pierwszy wiersz przez dwa, następnie dodajemy pierwszy i drugi wiersz i odejmujemy wynik od trzeciego wiersza. Następnie odejmujemy pierwszy wiersz od drugiego, a na koniec dzielimy pierwszy wiersz z powrotem przez dwa).

$$\begin{eqnarray} (A|b)=\begin{pmatrix} 3&-2&4&5&1\\ 5&-4&2&10&2\\ 11&-8&10&20&4 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ 5&-4&2&10&2\\ 11&-8&10&20&4 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ 5&-4&2&10&2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-4&8&10&2\\ -1&0&-6&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 3&-2&4&5&1\\ -1&0&-6&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Z tej ostatniej macierzy widzimy już, że rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Liczba niewiadomych wynosi n = 4, więc będziemy potrzebować n − k = 2 parametrów. Wyraźmy równania zgodnie z ostatnią macierzą:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ -x_1&&&-&6x_3&&&=&0\\ \end{array} $$

Z drugiego równania otrzymujemy

$$\begin{eqnarray} -x_1-6x_3&=&0\\ -x_1&=&6x_3\\ x_1&=&-6x_3 \end{eqnarray}$$

Wybieramy pierwszy parametr, t = x₃. Następnie możemy napisać, że x₁ = −6t. Możemy podłączyć to do pierwszego równania:

$$\begin{eqnarray} 3(-6t)-2x_2+4t+5x_4&=&1\\ -18t-2x_2+4t+5x_4&=&1\\ -14t-2x_2+5x_4&=&1\\ -2x_2&=&1+14t-5x_4\\ x_2&=&-\frac12-7t+\frac52x_4 \end{eqnarray}$$

Podłączamy drugi parametr, s = x₄. Następnie możemy napisać, że

$$x_2=-\frac12-7t+\frac52s$$

To daje nam ogólne rozwiązanie układu:

$$(x_1, x_2, x_3, x_4) = (-6t, -\frac12-7t+\frac52s, t, s)$$

Możemy wypróbować rozwiązania częściowe. Na przykład, s = t = 0. Następnie otrzymujemy: $(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, -\frac12, 0, 0)$ Po wstawieniu oryginalnych równań:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 3x_1&-&2x_2&+&4x_3&+&5x_4&=&1\\ 5x_1&-&4x_2&+&2x_3&+&10x_4&=&2\\ 11x_1&-&8x_2&+&10x_3&+&20x_4&=&4\\ \end{array} $$

otrzymujemy równania:

$$ \begin{array}{ccccccccc} 0&-&2\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&1\\ 0x_1&-&4\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&2\\ 0x_1&-&8\frac12&+&0x_3&+&0x_4&=&4\\ \end{array} $$

Po usunięciu zerowych pierwiastków i pomnożeniu ułamków otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 1&=&1\\ 2&=&2\\ 4&=&4 \end{eqnarray}$$

Spróbujmy jeszcze jednego częściowego rozwiązania: s = 2, t = 1 Następnie otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&-6\\ x_2&=&-\frac12-7+5=-\frac52\\ x_3&=&1\\ x_4&=&2 \end{eqnarray}$$

Podstawiając do równań:

$$ \begin{array}{ccccccccc} -18&-&2(-\frac52)&+&4&+&10&=&1\\ -30&-&4(-\frac52)&+&2&+&20&=&2\\ -66&-&8(-\frac52)&+&10&+&40&=&4\\ \end{array} $$

Zmodyfikuj:

$$ \begin{array}{ccccccccc} -4&+&5&=&1\\ -8&+&10&=&2\\ -16&+&20&=&4\\ \end{array} $$

I ostatecznie otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 1&=&1\\ 2&=&2\\ 4&=&4 \end{eqnarray}$$

Otrzymane rozwiązanie ogólne wydaje się być poprawne.

Linki i zasoby

• O. Krupková, Linear Algebra I [PDF]
• Układy równań liniowych, fav.zcu.cz, [PDF]