Macierz przejścia
Kapitoly: Przestrzenie wektorowe, Przykłady przestrzeni wektorowych, Podprzestrzeń wektorowa, Kombinacje liniowe wektorów, Liniowy wrapper, Podstawy przestrzeni wektorowej, Wymiary przestrzeni wektorowej, Macierz przejścia
Jeśli mamy przestrzeń wektorową V i dwie jej bazy, możemy wyrazić jeden wektor z przestrzeni jako kombinację wektorów z dwóch baz. Macierz przejścia pomaga nam następnie przekonwertować jedno wyrażenie na drugie.
Motywacja
Załóżmy, że mamy n-wymiarową przestrzeń wektorową V i dwie różne bazy E = {e1, …, en} i F = {f1, …, fn}. Następnie wybierzmy pewien wektor x z V. Ponieważ x jest z przestrzeni V i ponieważ E i F są bazami tej przestrzeni, musi istnieć współczynnik a1, …, an taki, że:
$$ \mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$
i jednocześnie muszą istnieć współczynniki b1, …, bn takie, że:
$$ \mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n $$
W pierwszym przypadku wyrażamy wektor x za pomocą podstawy E, w drugim przypadku za pomocą podstawy F. Używając dwóch różnych podstaw do wyrażenia x, otrzymujemy jednocześnie dwa różne zestawy współczynników ai i bi. Powstaje pytanie: jeśli znamy współczynniki ai, to czy istnieje jakiś sposób, aby z tych współczynników otrzymać współczynniki bi, tj. wyrażenie względem drugiej podstawy?
Tak, istnieje tak zwana macierz przejścia do tego celu.
Jak uzyskać macierz przejścia
Pozostańmy przy fakcie, że mamy przestrzeń V i dwie bazy E = {e1, …, en} i F = {f1, …, fn}. Ponieważ E jest bazą przestrzeni V, z pewnością wszystkie wektory f1, …, fn można wyrazić jako kombinacje liniowe wektorów z bazy E. Wektory f1, …, fn są rzeczywiście częścią bazy F, ale są również zwykłymi elementami przestrzeni V, więc muszą zachodzić:
$$\begin{eqnarray} \mathbf{f}_1 &=& a_{11} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{21} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\ \mathbf{f}_2 &=& a_{12} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{22} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\ &\ldots&\\ \mathbf{f}_n &=& a_{1n} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{2n} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \mathbf{e}_n \end{eqnarray}$$
Przepiszemy teraz te równania do macierzy, tak aby pierwsza kolumna macierzy zawierała wszystkie współczynniki a1i, druga kolumna zawierała wszystkie współczynniki a2i itd. Otrzymujemy macierz:
$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\ \ldots\\ a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$
Taka macierz jest następnie nazywana macierzą przejścia z podstawy E do podstawy F. Jeśli mamy wektor x = {x1,…, xn} z V, który ma współczynniki b1, …, bn w odniesieniu do podstawy F, to współczynniki a1, …, an w odniesieniu do podstawy E są otrzymywane
$$ \begin{pmatrix} a_1\vdots\\a_n \end{pmatrix} P\cdot \begin{pmatrix} b_1\vdots\b_n \end{pmatrix} $$Przykład
Będziemy pracować nad przestrzenią wektorową ℝ3. Wybierzemy jedną standardową bazę E = {[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]} i drugą bazę F = {[2,0,0], [3,2,0], [1,5,4]}. Macierz przejścia z bazy E do bazy F będzie miała postać
$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$
Teraz wybierzemy dowolny wektor x∈ ℝ3, na przykład x = [12,41,28]. Ma on współczynniki względem podstawy F a1 = −2, a2 = 3, a3 = 7 . W ten sposób wykonujemy iloczyn macierzy:
$$ \begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12\41\28 \end{pmatrix} $$Biorąc pod uwagę podstawę E, wektor x ma współczynniki a1 = 12, a2 = 41, a3 = 28. Zatem:
$$ \left[12{,}41,28\right] = 12\cdot\left[1{,}0,0\right]+41\cdot\left[0{,}1,0\right]+28\cdot\left[0{,}0,1\right] $$