Sesja

Relacja jest takim matematycznym odpowiednikiem normalnego pojęcia "związku". W normalnym życiu, na przykład, Monika jest w relacji z Jitką, a konkretnie w relacji matka-córka. Inną taką relacją może być "państwo - stolica tego państwa". Jako przykład możemy wziąć Egipt - Kair.

Inne przykłady relacji

Weźmy inne przykłady, które nam pomogą. We wstępie wspomnieliśmy o sesjach (relacjach) "bycia matką dla swojej córki" i "bycia stolicą państwa". Przyjrzyjmy się innym: "bycie liczbą parzystą". W tej sesji znajdują się liczby 2, 4, 8, 18, 58, 66 i wiele innych. Liczby 1, 3, −7, 19 nie znajdują się w sesji "bycia liczbą parzystą". Sesją ze zwykłego świata może być "bycie mężczyzną". Adam, Mirosław, Łukasz lub Marcin należą do sesji "bycia mężczyzną".

Innym przykładem może być sesja "mniej niż". Na przykład liczba trzy jest "mniejsza niż" liczba pięć. Matematycznie możemy to zapisać jako 3<5. Lub relacja równości: liczba trzy "jest równa" liczbie trzy, matematycznie: 3 = 3.

Możemy mieć bardziej skomplikowane przykłady: "ojciec i matka są rodzicami dziecka". W tej sesji będzie trio ludzi: ojciec Daniel, matka Maria i dziecko Krasomiła. W matematyce moglibyśmy wymyślić taką trzyelementową relację: suma dwóch pierwszych liczb równa się trzeciej liczbie. Na przykład, te liczby, w tej kolejności, są w tej relacji: 3, 4, 7, ponieważ 3 + 4 = 7. Te liczby nie są w relacji: 3, 5, 12, ponieważ 3 + 5≠12.

Sesja Arity

Arity to dziwnie brzmiący termin, ale opisuje on tylko, ile elementów mamy w sesji. W poprzednich przykładach pracowaliśmy z różną liczbą elementów. W sesji "bycie mężczyzną" wystarczy nam jeden element, więc możemy powiedzieć "Honza jest mężczyzną". Potrzebujemy tylko jednej nazwy, jednego elementu. Taką sesję nazywamy unarną.

W kolejnym przykładzie mieliśmy sesję "mniej niż". Działała ona z dwiema liczbami, dwoma elementami. Powiedzieliśmy, że liczba trzy jest mniejsza niż pięć. Użyliśmy dwóch elementów, więc sesja jest binarna.

W ostatnim przykładzie użyliśmy łącznie trzech elementów: suma dwóch liczb powinna być równa trzeciej. Mieliśmy więc liczby a, b, c i musiało być prawdą, że a + b = c. Ta sesja byłaby trójskładnikowa.

Dla wyższego stopnia złożoności możemy użyć notacji n-ary session. Ale możemy również użyć go dla niższej złożoności, możemy zapisać sesję binarną jako sesję 2-ary. Następnie zapisujemy elementy sesji jako uporządkowane n-tic. Jeśli mamy sesję binarną, zapisujemy je jako pary, zwykle używając nawiasów kwadratowych lub nawiasów spiczastych. Jeśli więc chcemy napisać, że liczby trzy i pięć są "mniejsze niż" w sesji, musimy zapisać liczby jako pary: [3, 5], lub <3, 5>. Zwróć uwagę, że musimy zwrócić uwagę na kolejność, odwrotność nie byłaby prawdziwa: [3, 5] ≠ [5, 3] -pięć nie jest mniejsze niż trzy.

Przykład rodziny

Zanim przejdziemy do definicji matematycznych, spróbujmy jeszcze jednego typowego przykładu z rodziną. Miejmy następujących członków jednej rodziny:

• Max: dziadek ze strony ojca;
• Józef: ojciec;
• Drahoslava: matka;
• Sandra: córka;
• Honza: syn.

Najpierw szukamy wszystkich członków rodziny, którzy pasują do relacji "być mężczyzną". Jest to relacja 1-ary, czyli jednoargumentowa. Dlatego zawsze będzie tylko jeden element, jeden członek rodziny. W tym momencie musimy wymienić wszystkich członków rodziny, którzy są mężczyznami. Teraz kolejność nie ma znaczenia. Tak więc sesja "bycie mężczyzną" zawiera następujące elementy: {[Max], [Josef], [Honza]}. Zauważ, że chociaż jest to sesja jednoargumentowa, użyliśmy nawiasów kwadratowych. Nie jest to absolutnie konieczne, nawet bez nich zapis byłby czytelny, ale dla zachowania spójności pozostawiłem nawiasy. Zbiór wszystkich elementów sesji jest więc zbiorem regularnym, stąd nawiasy kwadratowe.

Sprawdźmy teraz wszystkie sesje "ojciec-syn". Z wyglądu jest to już sesja binarna, w wyniku będą uporządkowane pary elementów. Wynikowy zestaw wygląda następująco: {[Josef, Honza], [Max, Josef]} Ojciec Joseph jest ojcem syna Honzy, a dziadek Max jest ojcem ojca Josepha. Zauważ, że to naprawdę zależy od kolejności, Józef jest tam dwa razy, ale raz na pierwszej pozycji na pozycji ojca, a drugi raz na drugiej pozycji na pozycji syna.

Spróbujmy jeszcze jednej sesji: rodzic-dziecko. Tutaj jest więcej, ponieważ w pierwszej pozycji może być każdy rodzic, zarówno ojciec, jak i matka, a w drugiej pozycji może być każde dziecko, zarówno syn, jak i córka. Musimy również wziąć pod uwagę, że dziadek Maksymilian jest rodzicem Józefa, ale nie jest już rodzicem Drahosławy. Józef i Drahoslava są jednak rodzicami Sandry i Honzy. Sandra i Honza nie są niczyimi rodzicami, ponieważ mają tylko dziewiętnaście i trzynaście lat. W rezultacie następujące pary zostaną zaaranżowane: {[Max, Josef], [Josef, Sandra], [Josef, Honza], [Drahoslava, Sandra], [Drahoslava, Honza]}. Zauważ, że zarówno Josef, jak i Drahoslava są tam dwa razy - raz jako rodzice córki Sandry, a drugi raz jako rodzice Honzy.

Ostatni rzut oka na sesje binarne. Przyjrzyjmy się sesji "rodzeństwo-rodzeństwo". Tutaj musimy zauważyć, że kolejność ma znaczenie dla sesji, więc gdybyśmy napisali tylko "Sandra - Honza" w wyniku tej sesji, byłoby to błędne, ponieważ jest to zupełnie inna uporządkowana para niż "Honza - Sandra". Dlatego prawidłowy wynik to: {[Sandra, Honza], [Honza, Sandra]}.

I krótki przykład sesji trójskładnikowej: wypisz wszystkie uporządkowane trójki tej sesji: "dziadek - ojciec - dziecko". W zadaniu mamy tylko jednego dziadka i jednego ojca, ale dwoje potomstwa. Nie wystarczy wypisać tylko wariacji z Sandrą lub z Honzą, musimy wypisać je obie. Inaczej byłoby, gdybyśmy na końcu zamiast "dziecko" wpisali "syn". Poprawny wynik to: {[Max, Josef, Sandra], [Max, Josef, Honza]}.

Definicja sesji jednoargumentowej

Spróbujmy zbadać najprostszą sesję, sesję jednoargumentową. Przez relację jednoargumentową rozumiemy pewien zbiór elementów. Zbiór {2, 3} może reprezentować pewną sesję. Na przykład relacja "być liczbą pierwszą mniejszą od pięciu" lub "być nietrywialnym dzielnikiem sześciu", w zależności od naszej interpretacji.

Wnikliwi czytelnicy zauważą, że druga sesja jest zdefiniowana nieco dziwnie. Mówi ona, że sesja powinna zawierać nietrywialne dzielniki szóstki, a w wynikowym zbiorze mamy liczby 2 i 3. Czy nie brakuje nam żadnej? Liczby 1 i 6 są trywialnymi dzielnikami, nie dbamy o nie. Ale powinny być liczby ujemne, więc −2 i −3. Zbiór wszystkich nietrywialnych dzielników liczby 6 wygląda następująco: {−3, −2, 2, 3}.

Podobnie jak określamy domenę definiującą dla funkcji, określamy zbiór wsparcia dla sesji - zbiór, z którego wybieramy elementy sesji. Na przykład w poprzednich przykładach określiliśmy rodzinę, w której był dziadek Max itp. Nie wybraliśmy ojców i dzieci ze wszystkich rodzin na świecie. Jeśli określimy zbiór liczb naturalnych jako zbiór pomocniczy, nasza sesja będzie w porządku.

W tym momencie możemy przejść do definiowania sesji. Jeśli mamy zbiór liczb naturalnych, jakie elementy może zawierać nasza sesja jednoargumentowa? Ponownie, tylko liczby naturalne. Albo wszystkie, albo tylko ich podzbiór. Możemy więc powiedzieć, że dana sesja będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli mamy sesję jednoargumentową R i zbiór pomocniczy M, to R ⊆ M, sesja R jest podzbiorem zbioru M.

Definicja sesji binarnej

Jak wygląda sesja binarna? W przypadku sesji binarnej elementy sesji R są uporządkowanymi parami. Każdy element pary może pochodzić z innego zbioru. Możemy mieć sesję "rodzic - liczba dzieci". Rodzic zostanie wybrany ze zbioru ludzi, powiedzmy w Europie, a liczba dzieci zostanie wybrana ze zbioru liczb naturalnych plus zero.

Jak otrzymamy zbiór wszystkich możliwych par z tych dwóch zbiorów? Używając iloczynu kartezjańskiego. Jeśli mamy zbiory A = {a, b, c}, B = {1, 2}, to za pomocą iloczynu kartezjańskiego otrzymamy:

$$A\times B=\left\{[a, 1], [a, 2], [b, 1], [b, 2], [c, 1], [c, 2]\right\}$$

Jest to zbiór wszystkich możliwych par, które możemy uzyskać, umieszczając element ze zbioru A na pierwszym miejscu i element ze zbioru B na drugim miejscu. Tak więc, jeśli mamy relację binarną R między zbiorami A i B, to możemy zdefiniować tę relację jako R ⊆ A × B.

Jeśli zachowamy poprzednie zbiory A i B i zdefiniujemy sesję R między tymi zbiorami jako "litera - kolejność litery w alfabecie", wówczas sesja ta będzie wyglądać następująco: R = {[a, 1], [b, 2]} Litera c już tam nie będzie, ponieważ iloczyn kartezjański A × B nie zawiera pary [c, 3].

Definicja sesji n-ary

Na koniec definiujemy ogólną relację n-ary R między zbiorami M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times\ldots\times M_n$$

Sesja jest więc podzbiorem uporządkowanym n-tic. Przykładem relacji binarnej może być relacja "mniej niż" lub <. Możemy ją zdefiniować między niektórymi domenami liczbowymi, takimi jak liczby naturalne. Wtedy sesja będzie wyglądać następująco:

$$< \subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}$$

(Nie przejmuj się, że znacznik < jest tak dziwnie po lewej stronie. To tylko nazwa sesji. Może to być R, gdzie R reprezentowałoby sesję mniejszą niż).

Konkretnie sesja wyglądałaby tak:

$$\begin{eqnarray} <\quad=&&[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], \ldots\\ &&[2, 3], [2, 4], [2, 5], [2, 6], \ldots\\ &&[3, 4], [3, 5], [3, 6], [3, 7], \ldots\\ &&[4, 5], [4, 6], [4, 7], [4, 8], \ldots\\ &&\ldots\\ && \end{eqnarray}$$

Jest to zbiór uporządkowanych par takich, że liczba naturalna na pierwszym miejscu jest mniejsza niż liczba naturalna na drugim miejscu.

Notacja sesji

Sesję zwykle nazywamy wielkimi literami R, S, itd. lub znanymi symbolami: <, ⊆, = , itd. Z poprzednich definicji wynika, że sesja jest w rzeczywistości zbiorem. W końcu prawie wszystko w matematyce jest zbiorem :-). Dlatego, jeśli chcemy powiedzieć, że element r należy do sesji R, możemy zapisać go jako r ∈ R.

Na przykład, możemy napisać [1, 3] ∈ < i oznacza to, że para liczb jeden i trzy należy do sesji less-than. W przypadku sesji binarnych często spotykamy się z przyjemniejszą notacją, którą znamy ze szkoły podstawowej. Zamiast używać operatora bycia elementem ∈, piszemy po prostu 1 < 3. Podobnie, zwykle nie piszemy [5, 5] ∈ = , ale piszemy 5 = 5.