Rozdzielność

Rozdzielność to właściwość dwóch operacji binarnych, takich jak dodawanie i mnożenie. Rozdzielność, w przypadku mnożenia i dodawania, mówi nam, że możemy "pomnożyć nawiasy". Na przykład, jeśli mamy wyrażenie

$$2\cdot(3+4)$$

to wiemy, że możemy pomnożyć nawiasy, aby otrzymać inne wyrażenie

$$2\cdot(3+4) = 2\cdot3+2\cdot4$$

Oba wyrażenia prowadzą do tego samego wyniku, liczby 14. Możemy wykonać to mnożenie, ponieważ operacja mnożenia jest dystrybucyjna w zbiorze liczb rzeczywistych w odniesieniu do operacji dodawania. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli mamy dwie operacje · i +, to mówimy, że operacja · jest dystrybucyjna na zbiorze M względem operacji +, jeśli

$$\begin{eqnarray} a\cdot(b+c) &=& (a\cdot b) + (a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a &=& (b\cdot a) + (c\cdot a) \end{eqnarray}$$

dla wszystkich a, b, c ∈ M. Innym przykładem operacji dystrybucyjnych są operacje z logiki zdań, koniunkcja ∧ i dysjunkcja ∨. Załóżmy, że mamy zdania A, B i C. Jeśli powiemy "A i jednocześnie (B lub C)", zapiszemy to jako

$$A \wedge (B \vee C)$$

A ponieważ operacja koniunkcji jest dystrybucyjna w odniesieniu do operacji dysjunkcji, jednoczesne

$$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$

Tak więc, słownie, "(A i jednocześnie B) lub (A i jednocześnie C)". Aby mieć przykład operacji, które nie są rozłączne, weźmy dodawanie i odejmowanie:

$$10-(5+3)$$

Prawidłowym wynikiem jest oczywiście 2, ponieważ po dodaniu nawiasów otrzymujemy 10 − 8, czyli 2. Gdybyśmy zastosowali regułę rozdzielności do tego obliczenia, otrzymalibyśmy wyrażenie:

$$(10-5)+(10-3)$$

Po dodaniu nawiasów otrzymalibyśmy 5 + 7, czyli 12. Widzimy, że otrzymaliśmy błędny wynik, więc operacje dodawania i odejmowania nie są rozdzielne.

Inne przykłady: niektóre operacje na macierzach spełniają prawo rozdzielności. Podobnie jest z wektorami w przestrzeni wektorowej. Operacje na bryłach muszą być rozdzielne.