Macierze odwrotne

Macierz odwrotna to macierz zdefiniowana na kwadratowych macierzach regularnych. Po pomnożeniu macierzy i jej macierzy odwrotnej otrzymujemy macierz jednostkową.

Definicja

Macierz odwrotną można obliczyć tylko z macierzy kwadratowej, macierz odwrotna nie jest zdefiniowana na macierzy prostokątnej. Co więcej, macierz odwrotna do macierzy A (oznaczana przez A⁻¹) istnieje tylko wtedy, gdy macierz jest regularna (nie ma liniowo zależnych wierszy). Macierz ta jest wtedy jednoznacznie określona. Dwie główne własności macierzy odwrotnej to:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

Najważniejsza własność macierzy odwrotnej (będąca jednocześnie definicją macierzy odwrotnej):

$$A\cdot A^{-1} = E$$

E jest to macierz jednostkowa.

Jak obliczyć macierz odwrotną

Przejdźmy teraz do metody obliczania macierzy odwrotnej. Najprostszym algorytmem jest metoda eliminacji Gaussa, która polega na zmodyfikowaniu macierzy A w macierz jednostkową i zapisaniu macierzy jednostkowej obok tej macierzy oraz dokonaniu takich samych modyfikacji tej macierzy, jak w przypadku macierzy A. Na końcu procesu obliczeniowego otrzymujemy macierz A zmodyfikowaną do macierzy jednostkowej po lewej stronie i macierzy odwrotnej po prawej stronie. Wypróbujmy to na prostym przykładzie:

$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$$

Szybki rzut oka pokazuje, że macierz jest regularna, więc sensowne jest obliczenie macierzy odwrotnej. Kiedy obliczamy macierz odwrotną, zwykle zapisujemy ją w postaci:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)$$

Teraz dostosujemy lewą macierz do macierzy jednostkowej i dokonamy identycznych dostosowań w prawej macierzy. Dodajemy −3 wielokrotność pierwszego wiersza do drugiego. Najpierw lewa macierz:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right)$$

Teraz dodajemy −3 wielokrotność pierwszego wiersza prawej macierzy do drugiego wiersza prawej macierzy:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Teraz musimy uzyskać zero na pozycji a₁₂. Wystarczy dodać drugi wiersz do pierwszego. Teraz wykonam obie korekty w jednym kroku:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Teraz pozbędziemy się minus dwa, dzieląc cały wiersz przez minus dwa:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Wynikowa macierz odwrotna to:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Jeśli chcesz sprawdzić, czy obliczona macierz odwrotna jest poprawna, pomnóż ją z oryginalną macierzą:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$

Aby to sprawdzić, możesz zajrzeć do WolframAlpha.

Obliczenia przy użyciu wyznacznika

Nadal możemy obliczyć macierz odwrotną przy użyciu wyznacznika. Prawdą jest, że jeśli mamy regularną macierz A, to macierz odwrotna A⁻¹ ma elementy a⁻¹_ij, które są równe:

$$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Po lewej stronie mamy i,j, ale w liczniku mamy j,i, uważaj na to, nie jest błędem zamienić to w ten sposób. W liczniku mamy macierz A_j,i, która jest podmacierzą macierzy A, którą otrzymujemy przez usunięcie j-tego wiersza i i-tej kolumny z macierzy A. Więc jeśli

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}, $$

jest:

$$ A_{1{,}1}=\begin{pmatrix} \not{1}&\not{2}&\not{3}\\ \not{4}&5&6\\ \not{7}&8&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9 \end{pmatrix},\quad A_{1{,}3}=\begin{pmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{pmatrix},\quad A_{2{,}2}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix} $$

Jeśli nie podoba ci się, że są odwrócone indeksy, nadal możemy to zapisać w ten sposób:

$$(a^{-1}_{ij})^T=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Lub, jeśli nie odwracamy indeksów, obliczamy transponowaną macierz odwrotną. Jeśli ponownie przetransponujemy tę macierz, otrzymamy macierz odwrotną.

Obliczanie przy użyciu tej metody jest zwykle żmudne i szczególnie nadaje się do przetwarzania maszynowego, ponieważ jest bardzo proste. W tym przykładzie spróbujemy obliczyć tylko dwie liczby. Miejmy więc tę macierz:

$$ A=\begin{pmatrix} 3&-4&5\\ 2&-3&1\\ 3&-5&-1 \end{pmatrix} $$

Najpierw obliczamy wyznacznik liczby całkowitej tej macierzy, który jest używany w mianowniku ułamka:

$$det(A)=-1$$

Teraz obliczamy pierwszy element macierzy odwrotnej. Nazwijmy go a⁻¹₁₁. Będzie on równy:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{1+1}\cdot\left|A_{1{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Będziemy potrzebować podmacierzy A_1,1. Pomijając pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, otrzymamy:

$$A_{1{,}1}= \begin{pmatrix} -3&1\\ -5&-1 \end{pmatrix} $$

Teraz musimy obliczyć wyznacznik tej macierzy:

$$det(A_{1{,}1})=8$$

I teraz możemy już całkowicie podstawić do wzoru:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{2}\cdot8}{-1}=\frac{1\cdot8}{-1}=-8$$

I mamy pierwszy wynik macierzy odwrotnej.

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Drugą liczbę otrzymujemy w następujący sposób:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{1+2}\cdot\left|A_{2{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Wyznacznik podmacierzy będzie równy

$$det(A_{2{,}1})= \begin{vmatrix} -4&5\\ -5&-1 \end{vmatrix}=29 $$

A przez całkowite podstawienie otrzymamy:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{3}\cdot29}{-1}=\frac{-1\cdot29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Kolejny element układanki:

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&29&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

I tak dalej, i tak dalej.