✖

Podprzestrzeń wektorowa

Kapitoly: Przestrzenie wektorowe, Przykłady przestrzeni wektorowych, Podprzestrzeń wektorowa, Kombinacje liniowe wektorów, Liniowy wrapper, Podstawy przestrzeni wektorowej, Wymiary przestrzeni wektorowej, Macierz przejścia

Podprzestrzeń wektorowa jest podzbiorem pewnej przestrzeni wektorowej, która jest nadal zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Definicja

Rozważmy pewną przestrzeń wektorową V. Wtedy podprzestrzeń wektorowa W byłaby pewnym podzbiorem przestrzeni V, przy czym zbiór W również byłby przestrzenią wektorową. Zatem podzbiór W ⊆ V musi spełniać następujące dwa warunki, aby być podprzestrzenią wektorową przestrzeni V: dla wszystkich x, y ∈ W i dla każdego a ∈ ℝ:

  • x+y ∈ W,
  • a · x ∈ W.

Musimy zatem wybrać taki podzbiór V, aby wektory te były domknięte przy dodawaniu i mnożeniu.

Podprzestrzeń przestrzeni R3

Spróbujmy wziąć przestrzeń ℝ3 i znaleźć jakąś podprzestrzeń.

  1. Na przykład, co ze wszystkimi trójkami postaci [a, a, a], gdzie a∈ ℝ. Czyli trójkami takimi jak $\left[1, 1, 1\right], \left[\frac12, \frac12, \frac12\right]$ lub [−π, −π, −π]. Taka podprzestrzeń, oznaczmy ją W1, byłaby podzbiorem przestrzeni ℝ3, czyli W1⊆ ℝ3, ponieważ ℝ3 zawiera po prostu wszystkie trójki.

Taka przestrzeń byłaby zamknięta w odniesieniu do operacji dodawania wektorów, ponieważ

$$\left[a,a,a\right]+\left[b,b,b\right]=\left[a+b, a+b,a+b\right].$$

Po dodaniu dwóch wektorów otrzymalibyśmy nowy wektor, który ponownie miałby te same trzy elementy, a taki wektor jest zawarty w zbiorze W1. Zbiór W1 spełnia zatem pierwszy warunek podprzestrzeni wektorowej. Ale czy spełnia drugi warunek?

Tak, spełnia, ponieważ k-multiple ponownie zmienia wszystkie trzy wektory składowe, ale zmienia je dokładnie tak samo:

$$k\cdot\left[a,a,a\right]=\left[k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a\right].$$

Ponownie otrzymujemy wektor, którego wszystkie trzy składowe są takie same, a taki wektor znajduje się w zbiorze W1. Zbiór W1 jest więc podprzestrzenią wektorową zbioru ℝ3.

  • Możemy spróbować wziąć wszystkie trójki [a, b, c] takie, że a, b, c ∈ <−1, 1>. Oznaczamy ten zbiór przez W2, a jego elementami są na przykład trójki $\left[\frac12, -\frac27, \frac89\right]$ lub $\left[0, \frac{\pi}{4}, 1\right]$. Czy elementy W2 są domknięte na dodawanie? Z pewnością nie, ponieważ $\left[1, 1, 1\right]+\left[\frac12, \frac13, \frac14\right]$ jest równy trójce $\left[\frac32, \frac43, \frac54\right]$, która nie należy do W2. Zatem zbiór W2 nie tworzy podprzestrzeni przestrzeni V, a zbiór W2 w ogóle nie tworzy przestrzeni.

  • Weźmy teraz wszystkie trójki postaci [a, 0, b], gdzie a, b∈ ℝ. Są to wszystkie trójki, których druga składowa wynosi zero. Oznaczmy ten zbiór przez W3. Czy zbiór ten jest zamknięty na dodawanie? Tak, ponieważ

$$\left[a, 0, b\right]+\left[c, 0, d\right]=\left[a+c, 0, b+d\right]$$

Wynikiem jest trójka [a + c, 0, b + d], która ma drugi składnik równy zero, a pozostałe dwa mają w sobie liczby rzeczywiste. Z pewnością ta trójka jest w W3. Czy W3 jest domknięty na mnożenie? Tak, jest, ponieważ

$$k\cdot\left[a, 0, b\right]=\left[k\cdot a, 0, k\cdot b\right]$$

Ponownie otrzymujemy trójkę [k · a, 0, k · b], która zawsze ma drugą składową równą zero, a pozostałe składowe są liczbami rzeczywistymi. Taka trójka jest elementem W3. Zbiór W3 tworzy zatem podprzestrzeń przestrzeni V. Zauważmy, że gdyby trójki miały postać [a, b, 0] lub [a, 0, 0], to również tworzyłyby podprzestrzeń wektorową.

Podprzestrzeń wielomianów

W poprzednim artykule pokazaliśmy przestrzeń wektorową złożoną z wielomianów. Podsumowując: wielomian jest wyrażeniem postaci

$$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n.$$

Zakładamy, że an≠0. Stopień takiego wielomianu jest wtedy liczbą n. Liczby rzeczywiste a0, …, an są nazywane współczynnikami wielomianu. Przykładem wielomianu jest wyrażenie 4 + 3x − 7x2. Spróbujmy znaleźć pewną podprzestrzeń wektorową. Niech będzie to przestrzeń wektorowa P(x) wszystkich wielomianów.

  1. Najpierw spróbujmy znaleźć zbiór wszystkich wielomianów stopnia n, gdzie n≥0 oznaczamy przez W1. Stwierdziliśmy już w poprzednich artykułach, że nie jest to w ogóle przestrzeń wektorowa, więc trudno ją nazwać podprzestrzenią wektorową przestrzeni P(x). Powtórzmy, że jeśli na przykład pomnożymy wielomian w W1 przez zero, otrzymamy wielomian p(x) = 0, który z definicji ma stopień −1. Zatem pierwiastek ten na pewno nie znajduje się w żadnym W1.

  2. Spróbujmy wziąć wszystkie wielomiany stopnia n i mniejsze jako W2. Zatem dla n = 2 wszystkie wielomiany stopnia 2, 1, 0, −1 będą w W2. Czy ten zbiór jest zamknięty na dodawanie? Tak, ponieważ suma dwóch wielomianów stopnia n nigdy nie będzie większa niż n, może być tylko mniejsza. Podobnie, zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, ponieważ każdy k-krotny wielomian stopnia p(x) może prowadzić albo do wielomianu tego samego stopnia, albo do wielomianu zerowego. Obie możliwości są pokryte przez zbiór W2, więc W2 tworzy podprzestrzeń przestrzeni P(X).

Podstawowe własności podprzestrzeni

Rozważmy przestrzeń wektorową V i jej dwie podprzestrzenie W1 i W2. Wówczas

  1. Przecięcie W1 ∩ W2 jest podprzestrzenią wektorową V.

    Miejmy przestrzeń wektorową ℝ3 i podprzestrzenie W1 i W2 takie, że W1 składa się z trójek postaci [a, b, 0] i W2 składa się z trójek postaci [a, 0, b], gdzie a, b ∈ ℝ. Zatem przecięcie W1 ∩ W2 będzie zbiorem zawierającym trójeczki postaci [a, 0, 0] - taki zbiór jest oczywiście podprzestrzenią przestrzeni ℝ3.

    Ale to oczywiście nie jest dowód. Wyglądałby on tak: weźmy dowolną przestrzeń wektorową V i jej dwie podprzestrzenie W1 i W2. Chcemy teraz udowodnić, że dla wszystkich x, y ∈ W1∩ W2 zachodzi x+y∈ W1∩ W2.

    Ponieważ wektory x i y są zawarte w przecięciu W1∩ W2, to z pewnością musi zachodzić, że x, y∈ W1 i również x, y ∈ W2 (jest to prawdą z definicji przecięcia zbiorów). Ponieważ W1 i W2 są również przestrzeniami wektorowymi, to musi również zachodzić, że x+y∈ W1 i jednocześnie x+y∈ W2 (wynika to z definicji przestrzeni wektorowych). Ale teraz mamy, że x+y∈ W1 i jednocześnie x+y∈ W2, co implikuje, że x+y∈ W1∩ W2 (ponownie z definicji przecięcia zbiorów - jeśli element leży w zbiorze W1 i leży również w zbiorze W2, to musi leżeć w ich przecięciu).

    Następnie musimy sprawdzić domknięcie mnożenia. Musimy udowodnić, że dla wszystkich k∈ ℝ i x∈ W1∩ W2 zachodzi k · x∈ W1∩ W2. Procedura będzie taka sama. Skoro x∈ W1∩ W2, to jednocześnie x∈ W1 i x∈ W2. Skoro W1 i W2 są przestrzeniami, to k · x∈ W1 jest przestrzenią, k · x ∈ W2 jest przestrzenią, k · x ∈ W1 ∩ W2 jest przestrzenią. $\Box$

  2. Unia W1 ∪ W2 niekoniecznie jest podprzestrzenią V.

    Aby udowodnić drugą własność, musimy tylko znaleźć odpowiedni kontrprzykład. W tym celu posłużymy się poprzednimi przestrzeniami W1 i W2, które mają trójki odpowiednio postaci [a, b, 0] i [a, 0, b]. Jeśli wykonamy ich unię, otrzymamy wszystkie trójki, które muszą mieć zero na drugim lub trzecim miejscu. Zatem wektory [1,0,1] i [1, 1, 0] są z pewnością w unii W1 ∪ W2. Ale w ten sposób ich suma jest równa [2, 1, 1], który jest wektorem, który nigdzie nie ma zera. Wektor ten nie znajduje się ani w W1, ani w W2, więc nie może być w W1 ∪ W2. Znaleźliśmy więc dwa wektory, których suma nie znajduje się w tym samym zbiorze, więc nie może to być przestrzeń wektorowa.

Odniesienia i zasoby