Ranga matematyki

Ranga macierzy to liczba reprezentująca liczbę niezależnych wierszy lub kolumn macierzy.

Definicja

Ranga macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy/kolumn w macierzy. Macierz zerowa ma rangę zero, a każda inna macierz ma rangę co najmniej jeden. Macierz typu m× n może mieć co najwyżej rangę min(m, n). Zatem jeśli macierz ma mniej wierszy niż kolumn, ranga macierzy będzie co najwyżej równa liczbie wierszy. Podobnie w przypadku kolumn.

Ranga macierzy jest zwykle oznaczana angielskim słowem "rank". Piszemy wtedy rank(A) = x.

Jak obliczyć rangę

Teraz jak obliczyć rangę macierzy. To całkiem proste. Należy uporządkować macierz w taki sposób, aby było jasne, które wiersze są liniowo niezależne. Najczęściej robi się to, dostosowując macierz do kształtu schodkowego (wszystkie zera poniżej przekątnej), a następnie można zobaczyć, gdzie stoi macierz. Przykład - mamy tę macierz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&1&-1\\1&3&3\end{array}\right)$$

I musimy znaleźć jej rangę. Teraz musimy zdać sobie sprawę z jednej małej rzeczy. Jeśli mamy dwa wiersze pełne liczb różnych od zera, teoretycznie mogą one być liniowo zależne. Musielibyśmy to obliczyć. Ale jeśli jeden z tych wierszy ma zero w pewnym miejscu, a drugi wiersz nie ma zera w tym samym miejscu, możemy z całą pewnością powiedzieć, że nie są one zależne. Nie możemy bowiem znaleźć żadnej liczby, przez którą moglibyśmy pomnożyć to zero (a tym samym cały wiersz), aby uzyskać tę samą liczbę, co w drugim wierszu. Dlatego zawsze będziemy próbować modyfikować macierze do postaci stopniowej, aby uzyskać te zera.

Możemy zapisać poprzedni akapit w następujący sposób. Jeśli α₁, α₂≠0, to:

$$ \alpha_1\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0&2&3\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0&a&b\end{pmatrix} $$

Dlatego staramy się uzyskać macierz w podobnym kształcie, abyśmy mogli łatwo zobaczyć zależności. Spójrzmy na przykład:

$$ \begin{pmatrix} 4&-5&1\\ 0&7&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix} $$

Jest to macierz w postaci schodkowej, żaden wiersz nie jest liniowo zależny. Nie możesz użyć pierwszych dwóch wierszy do wyrażenia trzeciego, ponieważ jeśli masz niezerowe współczynniki alfa, zawsze będziesz mieć jakąś niezerową liczbę w pierwszych kilku miejscach.

Procedura jest zwykle następująca: najpierw otrzymujemy zera w pierwszej kolumnie (z wyjątkiem pierwszego wiersza). Następnie modyfikujemy macierz dalej, aby uzyskać zera w drugiej kolumnie, następnie w trzeciej itd. itd. itd. aż w końcu otrzymamy klatkę schodową. Po zsumowaniu niezerowych wierszy otrzymujemy macierz rang. Możemy użyć tych modyfikacji bez zmiany rangi macierzy:

• Zamiana dowolnych dwóch wierszy.
• Pomnożenie wiersza przez dowolne niezerowe wyrażenie.
• Dodanie jednego wiersza do drugiego.
• Wszystkie poprzednie modyfikacje można zastosować do kolumn.

Przykład

W naszej poprzedniej macierzy dokonamy następujących zmian: Zobaczmy, jaki jest związek między elementami a₁₁ i a₂₁. Widzimy, że są one takie same, więc aby uzyskać zero w a₂₁, musimy dodać −1 razy pierwszy wiersz. Dodaj −1 razy pierwszy wiersz do drugiego wiersza (lub odejmij pierwszy wiersz od drugiego):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\1&3&3\end{array}\right)$$

Teraz mamy zero tam, gdzie chcieliśmy. Teraz nadal musimy uzyskać zero w pozycji a₃₁. Znowu mamy jedynkę, więc po prostu odejmujemy pierwszy wiersz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&1&2\end{array}\right)$$

Teraz mamy zera w pierwszej kolumnie, więc przejdźmy do drugiej kolumny z zapałem. Widzimy, że liczby a₂₂ i a₃₂ są odwrócone, więc musimy tylko dodać wiersze:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

I mamy jeden zerowy wiersz. Edycja jest już zakończona, mamy kształt schodkowy. Teraz dodajemy niezerowe wiersze i mamy rangę. Jest on równy rangi A = 2. Ta macierz miała rangę dwa.

Drugi przykład

Spróbujmy teraz obliczyć rangę nieco większej macierzy:

$$\left(\begin{array}{cccc}7&2&5&1\\1&3&5&-7\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Ranga macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy, więc możemy sobie pozwolić na dowolne przestawianie wierszy w macierzy. Na przykład w tym przypadku przydałoby się, aby wiersz z jedynką znajdował się na górze macierzy, abyśmy mogli go lepiej obliczyć. Możemy więc bezpiecznie przenieść pierwszy wiersz z drugim wierszem:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\7&2&5&1\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Teraz postępujemy jak w poprzednim przykładzie. Musimy mieć wszystkie zera w pierwszej kolumnie (zamiast w pierwszym wierszu, oczywiście), więc dodajemy −7 razy pierwszy wiersz do drugiego wiersza, −4 razy trzeci wiersz i −2 razy ostatni wiersz. Pierwszy wiersz pozostaje bez zmian:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&-19&-30&50\\0&-17&-19&28\\0&2&0&5\end{array}\right)$$

Ponownie zamień wiersze, tym razem powinniśmy otrzymać ostatni wiersz zamiast drugiego, ze względu na dwójkę na drugiej pozycji. Zamień drugi i czwarty wiersz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-17&-19&28\\0&-19&-30&50\end{array}\right)$$

Widzimy jednak, że pod dwójką mamy liczby −17 i −19. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez dwa, co jest trochę niezręczne, a nawet żenujące. Więc teraz mnożymy trzeci i czwarty wiersz przez dwa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-34&-38&56\\0&-38&-60&100\end{array}\right)$$

Teraz możemy przystąpić do korekt, próbując wyzerować drugą kolumnę. Do trzeciego wiersza wczytujemy 17 razy drugi wiersz, a do czwartego 19 razy:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&0&-38&141\\0&0&-60&195\end{array}\right)$$

Ok, teraz mamy dość - jak na dalszą edycję - niewygodne liczby, ale jakoś sobie poradzimy. Dzielimy trzeci wiersz przez −38:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&-60&195 \end{pmatrix} $$

Teraz pomnóż trzeci wiersz przez 60 i dodaj do czwartego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&195-\frac{60\cdot141}{38} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&-\frac{525}{19} \end{pmatrix} $$

Otrzymujemy brzydką, ale niezerową liczbę. Tak więc macierz ma rangę cztery, nie zawiera liniowo zależnych wierszy.

Przykład z parametrem

Jaki jest rząd macierzy A w zależności od parametru q?

$$ A=\begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} $$

Jest to nieco bardziej skomplikowany problem, ponieważ mamy parametr q. Musimy dowiedzieć się, przy jakich wartościach parametru q macierz ma maksymalną rangę, jeśli w ogóle, a przy jakich wartościach ma niższą rangę. Będziemy postępować zgodnie z klasycznym podejściem, z wyjątkiem tego, że czasami będziemy używać abstrakcyjnego q zamiast konkretnych wartości. W pierwszym kroku przeniesiemy parametr q w ładniejsze miejsce, a mianowicie w prawy dolny róg. Zamienimy drugi wiersz z trzecim, a następnie pierwszą kolumnę z ostatnią:

$$ \begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&8&17\\ 4&1&3\\ q&5&8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} $$

Teraz mamy parametr w wygodnym miejscu, w którym nie będzie miał zbyt dużego znaczenia. W pierwszej kolumnie mamy jednak dość niewygodne liczby, ale mamy jedynkę na samym środku: przesuwamy ją w lewo, tj. zamieniamy pierwszy i drugi wiersz oraz pierwszą i drugą kolumnę:

$$ \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3&1&4\\ 17&8&1\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Teraz mamy ładną macierz. Mnożymy pierwszy wiersz przez −8 i dodajemy do drugiego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Mnożymy pierwszy wiersz przez −5 i dodajemy do trzeciego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} $$

Okej, mamy pierwszą kolumnę taką, jakiej potrzebujemy. Teraz dodajemy −1 razy drugi wiersz do trzeciego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&0&q+11 \end{pmatrix} $$

I na tym kończymy dostosowywanie macierzy. Widzimy, że pierwsza i druga kolumna są zdecydowanie liniowo niezależne. Ale trzeci wiersz może być liniowo zależny. Wiersz będzie liniowo zależny, jeśli będzie wynosił zero, to znaczy, jeśli wybierzemy parametr q tak, aby wyrażenie q + 11 wynosiło zero. Oczywiście, jeśli q = −11, to wiersz jest zerowy, a więc jest liniowo zależny.

Ostateczny werdykt: dla q = −11 macierz ma rangę dwa, w przeciwnym razie ma rangę trzy.