Liczby wymierne
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, czyli w postaci ułamka.
Definicja
Liczby wymierne to zatem wszystkie liczby, które można zapisać w postaci
$$\frac{a}{b}\qquad a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0.$$
Warunek, że obie liczby są liczbami całkowitymi ma oczywiste znaczenie, ponieważ jeśli wybierzesz liczbę, która nie jest liczbą wymierną, na przykład π, to jeśli skonstruujesz ułamek w następujący sposób:
$$\frac{\pi}{1},$$
otrzymałbyś z powrotem liczbę π, która nie jest liczbą wymierną. Dlatego zarówno mianownik, jak i licznik muszą być liczbami całkowitymi. A ponieważ nie możemy dzielić przez zero, mianownik musi być różny od zera.
Możemy również powiedzieć, że liczby wymierne to liczby o skończonym rozwinięciu dziesiętnym, z wyjątkiem sytuacji, gdy jakaś część powtarza się okresowo. Przykłady liczb wymiernych, najpierw w postaci ułamkowej:
$$\frac13,\qquad -\frac59,\qquad \frac{13}{29},\qquad \frac{4}{1}, \ldots$$
, a następnie liczby w postaci dziesiętnej: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333...=.$0,\overline{3}$
Zapis okresowy
W poprzednim przykładzie mieliśmy liczbę 0,3333... Jest to dziesiętna reprezentacja ułamka 1/3 i jest to liczba z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym. Jest to jednak liczba racjonalna, ponieważ jej rozwinięcie jest okresowe. Rozwinięcie okresowe oznacza, że od pewnej części liczby ta sama sekwencja cyfr powtarza się w kółko. W naszym przypadku liczba trzy powtarza się ad infinitum. Ale może powtarzać się w nieskończoność, na przykład ciąg liczb 12345, nadal będzie liczbą z okresem, liczbą wymierną.
Zatem każda liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymierną. Każda liczba z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym, której część powtarza się okresowo, jest również liczbą wymierną. Liczba z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym, w którym żadna część nie powtarza się okresowo, jest liczbą niewymierną.
Okres jest oznaczony trzema kropkami lub, częściej, linią nad liczbami, które powtarzają się okresowo. Jedna liczba może powtarzać się okresowo, ale więcej niż jedna liczba może powtarzać się okresowo. Okres może rozpocząć się na początku części dziesiętnej lub w dowolnym momencie później. Są to wszystkie liczby okresowe:
$$\begin{array}{rclcl} 7/3&=&2{,}33333\ldots&=&2,\overline{3}\\ 16/11&=&1{,}454545\ldots&=&1,\overline{45}\\ 11/6&=&1{,}833333\ldots&=&1{,}8\overline{3} \end{array}$$
Oznaczenia i znaczenie
Liczby wymierne oznaczamy literą Q z podwójnymi łukami: ℚ Pochodzi ona od angielskiego "quotient", czeskiego "iloraz", oznaczającego wynik po dzieleniu.
Liczby wymierne są używane do oznaczania części całości. Zazwyczaj jest to na przykład "połowa" lub "dziesiąta". Są to oznaczenia całości, które można wyrazić w liczbach wymiernych jako ułamek 1/2 i 1/10. W takich przypadkach mianownik oznacza całość, a licznik oznacza część całości. Jeśli licznik jest równy mianownikowi, oznacza to, że mamy całość. Liczby te są następnie zwykle konwertowane na procenty.
Właściwości
- Liczby wymierne są nieskończonym zbiorem przeliczalnym.
- Liczby wymierne są zamknięte w operacjach dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Oznacza to, że gdy podzielimy dwie liczby wymierne, otrzymamy ponownie liczbę wymierną. Jest to zmiana w stosunku do liczb całkowitych, które nie były zamknięte na operację dzielenia.
- Liczby wymierne zawierają wszystkie liczby całkowite. Jeśli wszystkie liczby wymierne są wyrażalne przez ułamek a/b, to wystarczy b = 1 i po podzieleniu a/1 = a zawsze otrzymamy z powrotem wartość licznika.
- Jeśli weźmiemy dwie liczby wymierne a i b, dla których zachodzi a < b, to zawsze możemy znaleźć inną liczbę wymierną q, dla której to zachodzi: a < q < b Innymi słowy, między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze możemy znaleźć jakąś inną liczbę wymierną. Prawdziwa jest również mocniejsza wersja: między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje nieskończenie wiele innych liczb wymiernych.
- Zatem konsekwencją poprzedniego twierdzenia jest to, że nie istnieje najmniejsza dodatnia (lub największa ujemna) liczba wymierna. W tym celu możemy skorzystać z dowodu przez zaprzeczenie. Niech m będzie najmniejszą dodatnią liczbą wymierną. Wtedy możemy nie być w stanie znaleźć mniejszej dodatniej liczby wymiernej. Jednakże, zgodnie z poprzednim twierdzeniem, 0 < m zachodzi i 0 < s < m. Znaleźliśmy liczbę s, która jest większa od zera (jest dodatnia) i jest mniejsza od m. Co jest sprzeczne z faktem, że m jest najmniejszą dodatnią liczbą wymierną.
Operacje na liczbach wymiernych
Wszystkie typowe i podstawowe operacje zostały opisane w artykule Ułamki.
Konwersja liczby okresowej na ułamek
Ponieważ liczba okresowa jest również liczbą wymierną, należy ją przekształcić na ułamek. Pokażemy, jak to zrobić. Na początek rozważmy liczbę okresową a = 0,333... Write
$$a=0,\overline{3}$$
Teraz wykonamy klasyczne dopasowanie równania równoważnego i pomnożymy całe równanie przez dziesięć:
$$10a=3,\overline{3}$$
Po prawej stronie cyfry 3 zmieniły się w jedynki, pozostawiając nieskończoną liczbę cyfr 3 po przecinku. Teraz odejmujemy a od równania, odejmując w ten sposób 0,333..., pozbywając się nieskończonego rozwinięcia.
$$9a=3$$
Ten krok może być nieco skomplikowany, więc go wyjaśnię. Wykonaliśmy tę operację:
$$\begin{array}{ccccccc} &3&,&3&3&3&\ldots\\ -&0&,&3&3&3&\ldots\\ =&3&,&0&0&0&\ldots \end{array}$$
Po prostu dzielimy górne równanie 9a = 3 przez dziewięć, aby uzyskać wynik:
$$a=\frac{3}{9}=\frac13$$
Spróbujmy jeszcze jednego przykładu:
$$a=1{,}454545\ldots=1,\overline{45}$$
Procedura będzie nieco inna. W ostatnim przykładzie mieliśmy okres o długości jeden. Aby być bardziej precyzyjnym, okres mógł być tak długi, jak chcieliśmy, ponieważ te same liczby ciągle się powtarzały, ale wygodnie było mieć jedną długość. Obecnie mamy okres o długości dwa. Ponownie, moglibyśmy przyjąć okres o długości sześciu, ale to nam nie odpowiada. Aby naprawdę odjąć cały okres, musimy tym razem pomnożyć przez 100:
$$100a=145,\overline{45}$$
Odejmij jeden a:
$$99a=144$$
I podzielić przez 99:
$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$
Jeśli spróbujesz podzielić te liczby na kalkulatorze, otrzymasz tylko 1,454545... Większość kalkulatorów jednak zaokrągla, więc może dać nieco inny wynik.
Ciekawa sprawa z 0.9999...
Dla zabawy spróbujmy przekonwertować liczbę okresową na ułamek
$$a=0,\overline{9}$$
Pomnóż przez dziesięć:
$$10a=9,\overline{9}$$
Odejmij a:
$$9a=9$$
Podziel przez dziewięć:
$$a=1$$
Widzimy, że otrzymaliśmy jeden, więc liczba 0,999... jest równa 1.