✖

Liczby zespolone

Kapitoly: Liczby zespolone, Graficzna reprezentacja liczb zespolonych, Postać goniometryczna liczby zespolonej

Liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych. W dziedzinie liczb rzeczywistych możemy wykonywać większość klasycznych operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). W liczbach rzeczywistych możemy również odejmować, ale tylko liczby nieujemne. Stanowi to pewną lukę, na przykład gdy obliczamy równanie kwadratowe i otrzymujemy ujemny wyróżnik. Pęknięcie to można załatać za pomocą liczb zespolonych.

Czym jest liczba zespolona

Liczby zespolone różnią się od zwykłych liczb głównie tym, że zawierają dwie części - część rzeczywistą i część urojoną. Liczba zespolona to para uporządkowanych liczb [x, y], gdzie liczba x reprezentuje część rzeczywistą, a liczba y reprezentuje część urojoną. Jeśli część rzeczywista wynosi zero, jest to czysto urojona liczba zespolona. Liczby x i y są rzeczywiste.

Zbiór liczb zespolonych oznaczany jest wielką literą cé: $\mathbb{C}$.

Równość liczb zespolonych: w przeciwieństwie do zwykłych liczb, liczby zespolone zawierają dwa składniki. Tak więc, jeśli dwie liczby zespolone mają być równe, muszą być równe w obu składnikach. Liczby zespolone różnią się więc od siebie: [2, 3]≠[0, 3]≠[2, 0] Liczby zespolone z1 = [1,2] i z2 = [1,2] są równe: z1 = z2.

Postać algebraiczna i jednostka urojona

Liczby zespolone są częściej zapisywane w postaci algebraicznej, która wygląda następująco. Liczba zespolona [x, y] ma postać algebraiczną x + yi, gdzie i jest nazywana jednostką urojoną. Bardzo ważna zależność dotyczy kwadratu jednostki urojonej:

$$i^2=-1$$

Równanie to będzie często używane w dalszej części, wraz z innymi potęgami. Wyższe potęgi można już obliczyć w zwykły sposób. Na przykład, jeśli chcemy uprościć i3, możemy rozłożyć wyrażenie zgodnie z zasadami obliczania potęg na i2 · i. Wiemy już, że i2 jest równe minus jeden. Nie rozkładamy już drugiego E, więc otrzymujemy: i3 = −i.

$$\Large i^3=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot \underbrace{i}_{i}=-i$$

Podobnie dla i4. Możemy to rozłożyć na i2 · i2, biorąc i2 = −1, więc otrzymujemy: −1 · − 1 = 1.

$$\Large i^4=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot\underbrace{i^2}_{-1}=-1\cdot-1=1$$

Tak więc i4 = 1. Możemy to wykorzystać, jeśli obliczamy jeszcze wyższe potęgi jednostki urojonej. Na przykład, gdy obliczamy i7, możemy rozłożyć to na i4 · i3. Wiemy, że i4 = 1, więc otrzymujemy: 1 · i3. Wiemy też, że i3 = −i. Wynikiem jest: 1 · (−i) = −i.

Dodawanie i mnożenie

Możemy dodawać i mnożyć liczby zespolone. Dodając dwie liczby zespolone z1 i z2, dodajemy oddzielnie ich części rzeczywiste i urojone:

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i) + (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Przykład: z1 = 3 + 7i i z2 = 5 + 8i. Suma wyglądałaby następująco: z1 + z2 = (3 + 5)+(7 + 8)i = 8 + 15i.

Iloczyn dwóch liczb zespolonych jest nieco bardziej skomplikowany, ale można go podzielić na klasyczne mnożenie nawiasów. Podstawowy wzór wygląda następująco:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

A jak do tego doszliśmy? Spróbujmy pomnożyć z1 · z2 w taki sam sposób, w jaki pomnożylibyśmy zwykły nawias. Otrzymujemy:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$$

Ponieważ i2 = −1, otrzymujemy po skorygowaniu ostatniego wyrazu:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2$$

Teraz po prostu zsumujemy wyrazy bez i z jednostką urojoną:

$$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Przykład. Spróbujmy pomnożyć liczby 5 + 6i i 4 + 7i. Otrzymamy:

$$(5+6i)\cdot(4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Liczby odwrotne, odwrócone i zespolone

  • Odwrotność liczby zespolonej x + yi ma postać −x − yi. Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, odwrotność otrzymujemy mnożąc daną liczbę zespoloną przez minus jeden. Przykład: odwrotnością liczby 2 + 7i jest liczba −2 − 7i. Odwrotnością liczby −5 + 8i jest liczba 5 − 8i itd.

  • Odwrotnością liczby zespolonej x + yi jest $\frac{1}{x+yi}$. Odwrotnością liczby 4 − 2i jest $\frac{1}{4-2i}$.

  • Liczba zespolona związana z liczbą x + yi ma postać x − yi. Zazwyczaj oznacza się ją paskiem w następujący sposób: $\overline{z}$, lub gwiazdką z*. Taka liczba jest liczbą zespoloną związaną z liczbą zespoloną z. Liczbą zespoloną związaną z liczbą 2 + 9i jest liczba 2 − 9i.

Odejmowanie i dzielenie

Po zdefiniowaniu odwrotności i odwrotności liczby możemy również zdefiniować operacje odejmowania i dzielenia. Jeśli chcemy odjąć dwie liczby zespolone, z1 − z2, dodajemy odwrotność z2 do liczby z1. W praktyce otrzymujemy prosty wzór:

$$z_1-z_2=(x_1+y_1i) - (x_2+y_2i) = (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Podobnie, przekształcamy dzielenie z1 / z2 na mnożenie, mnożąc $z_1\cdot z_2^\prime$, gdzie $z_2^\prime$ jest odwrotnością z2.

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględną liczby zespolonej z obliczamy według wzoru:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$$

(W pierwiastku kwadratowym, kwadrat z jest liczbą zespoloną związaną z z.) Znaczenie tego wzoru jest dobrze widoczne w geometrycznej reprezentacji liczb zespolonych.

Każda liczba zespolona, której wartość bezwzględna jest równa jeden, nazywana jest jednostką zespoloną. Przykłady jednostek zespolonych: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Właściwości wartości bezwzględnej:

  • Wartość bezwzględna liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą.
  • |z|≥0
  • |z| = |−z| = |z*|gdzie z* jest liczbą zespoloną.

Wideo

Jeśli wolisz oglądać niż czytać, obejrzyj poniższy film o liczbach zespolonych autorstwa Mirka Olšáka.

http://www.youtube.com/watch?v=Ip69mJyF-8s

Więcej zasobów