Całka oznaczona

Całka oznaczona jest używana do pomiaru wielkości obszaru kształtów opisanych przez funkcję.

Motywacja

Biorąc pod uwagę funkcję $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$. Teraz możemy zapytać - jak duże jest pole pod krzywą wykresu od punktu a = 0 do punktu b = 10? Interesuje nas więc rozmiar obszaru ograniczonego przez oś x, krzywą wykresu funkcji f oraz pionowe linie w punktach x₁ i x₂. Wszystko to podsumowano na rysunku:

Interesuje nas wielkość obszaru zaznaczonego na niebiesko. Jak moglibyśmy go określić? Możemy to zrobić, dzieląc cały niebieski obszar na kilka mniejszych obszarów, a następnie zliczając zawartość tych mniejszych obszarów i dodając wszystkie te częściowe zawartości razem. Aby obliczyć zawartość mniejszych obszarów, mniejszy obszar musi mieć jakiś rozsądny kształt, abyśmy mogli obliczyć zawartość za pomocą jakiegoś wzoru. Przychodzi mi na myśl prostokąt.

Najpierw wybieramy rosnący ciąg punktów od x₀ do x_n taki, że x₀ = a, x_n = b. Im większy n, tym dokładniejszy wynik otrzymamy. Wybieramy prosty ciąg x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Z sąsiednich punktów tworzymy przedziały <x_i, x_{i + 1}>, czyli otrzymujemy zbiór przedziałów

$$ D = \left\{\left<0, 1\right>, \left<1, 2\right>, \left<2, 3\right>, \ldots, \left<9, 10\right>\right\} $$

Pierwszy przedział oznaczamy przez D₁, drugi przez D₂, itd. Następnie znajdujemy minimalne wartości funkcji f w każdym przedziale D_i. Na przykład, w D₁, funkcja f ma minimalną wartość dla x = 0 i f(0) = 0. W D₂, minimalna wartość znajduje się na x = 1 i $f(1)=\sin(1)+\frac14 \approx 1,0914$. itd. Oznaczamy te wartości funkcji. Najmniejszą wartość funkcji w przedziale D_i oznaczamy przez m_i. Czyli $m_1 = 0, m_2 \approx 1,0914$ itd.

Teraz narysujemy prostokąty na wykresie. i- ten prostokąt będzie miał szerokość x_i − x_{i − 1} i wysokość m_i:

Widzimy, że każdy przedział ma jeden prostokąt, który znajduje się pod krzywą, ale jest również najwyższy. Wysokość każdego prostokąta w i-tym przedziale wynosi właśnie m_i. Gdybyśmy teraz zsumowali zawartość tych prostokątów, otrzymalibyśmy przybliżony szacunek wielkości obszaru pod krzywą. Im więcej prostokątów narysujemy pod krzywą, tym dokładniejsze oszacowanie otrzymamy. Zawartość i-tego prostokąta zostanie obliczona jako s_i = m_i · x_i − x_{i − 1}, a więc suma wszystkich prostokątów wyniesie:

$$ s = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot x_i - x_{i-1} $$

Możemy zrobić odwrotnie: zamiast zawsze brać minimalną wartość funkcji w przedziale D_i, bierzemy największą wartość funkcji. Oznaczylibyśmy te wartości funkcji M_i. Prostokąty wyglądałyby wówczas następująco:

Ponownie, dla każdego przedziału istnieje jeden prostokąt, który zawsze ma wysokość M_i. Wierzchołek prostokąta zawsze dotyka krzywej tylko w lokalnych maksimach przedziału. Zsumowanie zawartości każdego prostokąta dałoby kolejne oszacowanie wielkości obszaru pod krzywą. Obliczylibyśmy tę zawartość jako

$$ S = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot x_i - x_{i-1} $$

Ponownie, jeśli zwiększymy liczbę prostokątów, otrzymamy dokładniejsze oszacowanie.

Wprowadzamy pojęcia dolnego i górnego sumowania całkowego. Mówimy, że s(D, f) jest dolną sumą całkową, a jej wartość jest równa

$$ s(D, f) = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot x_i - x_{i-1}, $$

gdzie f jest funkcją ciągłą na przedziale <a, b>, gdzie x₀ = a, x_n = b, D jest podziałem funkcji na przedziały, a n jest liczbą tych przedziałów. Oznaczamy górną sumę całkową przez S(D, f) i jest ona równa :

$$ S(D, f) = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot x_i - x_{i-1}, $$

gdzie f jest funkcją, a D jest podziałem funkcji na przedziały n.

Jednak w uproszczeniu, im większa jest D, tym bardziej wartości s(D, f) i S(D, f) zbliżają się do siebie, aż są równe gdzieś w nieskończoności. Zatem prawdą jest, że istnieje jedna liczba rzeczywista A taka, że

$$ s(D, f) \le A \le S(D, f) $$

dla wszystkich możliwych podziałów liczby D. Czym jest liczba A? Liczba A jest po prostu zawartością obszaru pod krzywą, ponieważ jest to jedyna wartość, która jest większa lub równa sumie zawartości prostokątów poniżej krzywej i mniejsza lub równa sumie zawartości prostokątów "nad krzywą".

Definicja całki oznaczonej

Z poprzedniej sekcji wiemy, że dla funkcji ciągłej f na przedziale <a, b>, s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) zachodzi dla wszystkich podziałów D. Tę liczbę A nazywamy całką oznaczoną funkcji f od a do b. Używamy wtedy zapisu

$$ A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x. $$

Wzór Newtona-Leibniza mówi nam ponadto, że zachodzi następująca relacja:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a), $$

gdzie F jest funkcją pierwotną względem funkcji f. Prawa strona równania jest czasami zapisywana w ten sposób:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left[F(x)\right]_a^b $$

Geometrycznym znaczeniem całki oznaczonej jest wtedy wspomniana zawartość pola pod krzywą nieujemnej funkcji f. Zaczęliśmy od funkcji $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$, spróbujmy więc obliczyć zawartość pola na przedziale <0, 10>. Obliczymy więc całkę oznaczoną

$$ \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x $$

Najpierw całkujemy funkcję f:

$$\begin{eqnarray} \int \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& \int \sin(x) \mathrm{d}x+ \int \frac{x}{4} \mathrm{d}x\\ &=& -\cos(x) + c_1 + \frac{x^2}{8} + c_2 \\ &=& \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c_1+c_2 \end{eqnarray}$$

Funkcja pierwotna F przyjmuje zatem postać $F(x) = \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c$. Rozłożymy całkę oznaczoną:

$$\begin{eqnarray} \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& F(10) - F(0)\\ &=& \frac{10^2}{8} - \cos(10) + c - \left(\frac{0^2}{8} - \cos(0) + c\right)\\ &=& \frac{100}{8} - \cos(10) + \cos(0) + c - c\\ &\approx& 12{,}5 + 0{,}839 + 1\\ &\approx& 14{,}339 \end{eqnarray}$$

Przybliżona zawartość obszaru pod krzywą na przedziale <0, 10> wynosi 14,339.