Integracja per partes
Kapitoly: Integralny, Integracja per partes, Integracja podstawień, Całka oznaczona
Integracja per partes, po czesku integracja przez części, jest używana, gdy chcemy znaleźć funkcję prymitywną do funkcji, która ma postać iloczynową.
Wyprowadzenie wzoru
Podstawą wyprowadzenia jest klasyczny wzór na pochodne.
$$ (u\cdot v)^{\prime} = u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime} $$
Załóżmy więc, że mamy funkcje u i v i że są one pochodne na pewnym przedziale J, tj. istnieją $u^{\prime}$ i $v^{\prime}$. Teraz całkujemy obie strony. Otrzymujemy:
$$ \int (u\cdot v)^{\prime} = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Możemy usunąć całkę i pochodną z lewej strony, ponieważ jeśli wyprowadzimy funkcję, a następnie scalimy ją z powrotem, otrzymamy oryginalną funkcję (z wyjątkiem stałej c).
$$ u\cdot v = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Wyodrębniamy całkę, w której wyprowadzamy funkcję v:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Zatem funkcja $u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v$ jest funkcją pierwotną względem funkcji $\int u\cdot v^{\prime}$. Wykorzystamy to w dalszej części.
Przykład pierwszy
Posłużymy się przykładem, aby pokazać, w jaki sposób wykorzystamy metodę per partes. Obliczymy całkę
$$ \int x\cdot \cos x \mbox{ d}x $$
Ten typ przykładu nie może być rozwiązany za pomocą zwykłych środków, które wprowadziliśmy w podstawowym artykule na temat całek. Ponieważ funkcja ma postać iloczynową, użyjemy metody per partes.
We wzorze
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
mamy funkcje u i v, które musimy odpowiednio dobrać. Teraz chcemy użyć poprzedniego wzoru do obliczenia całki z $\int u\cdot v^{\prime}$. Jednak w zadaniu nie mamy nic takiego, tam mamy x · cos x, nigdzie żadnej pochodnej v, o co prosi nas wzór. Musimy więc rozłożyć funkcję x · cos x na iloczyn dwóch funkcji. Deklarujemy jedną funkcję jako u, a drugą jako $v^{\prime}$.
Dokonanie właściwego wyboru jest bardzo ważne, ponieważ jeśli dokonamy złego wyboru, raczej skomplikujemy procedurę. Zobacz, co otrzymamy po prawej stronie, jeśli użyjemy poprzedniego wzoru. Z wyrażeniem u · v nie będziemy mieli problemu, ale będziemy musieli obliczyć całkę z $\int u^{\prime} \cdot v$. Powinniśmy więc być w stanie wyprowadzić funkcję u i powinniśmy być w stanie całkować funkcję $v^{\prime}$.
Wybieramy funkcje w następujący sposób:
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x $$
Daje nam to lewą stronę równania, ponieważ zawiera ona iloczyn $u \cdot v^{\prime}$ w całce. Po prawej stronie mamy iloczyn u · v i kolejną całkę. Musimy zatem obliczyć $u^{\prime}$ i v. Wyprowadzenie u jest proste:
$$ u^{\prime} = x^{\prime} = 1 $$
Teraz musimy obliczyć v z $v^{\prime}$, więc całkujemy $v^{\prime}$. Ponownie - wybraliśmy, że $v^{\prime} = \cos x$. Jednak po prawej stronie równania pracujemy z wartością v, bez pochodnej. Lub jeśli wyprowadzimy v, która znajduje się w całce po prawej stronie równania, musimy uzyskać tylko naszą wybraną $v^{\prime}$ z lewej strony równania. Szukamy więc funkcji, która po wyprowadzeniu jest równa cos x. Innymi słowy, całkujemy $v^{\prime}$.
$$ v=\int v^{\prime}=\int \cos x = \sin x $$
Zapiszmy to, co już wiemy, w tabeli:
$$\begin{bmatrix} u = x,&v^{\prime}=\cos x\\ u^{\prime} = 1, &v=\sin x \end{bmatrix}$$
Z tej tabeli podstawiamy do wzoru
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v, $$
aby otrzymać to:
$$ \int x \cdot \cos x = x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x $$
Widzimy, że udało nam się zmodyfikować całkę do innej postaci, która jest łatwiejsza do rozwiązania. Nie będziemy dalej modyfikować wyrażenia x · sin x, tylko obliczymy całkę po prawej stronie. Jest to już prosta całka tablicowa:
$$ \int \sin x \mbox{ d}x = -\cos x + c $$
Możemy więc napisać, że
$$\begin{eqnarray} \int x \cdot \cos x &=& x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x\\ &=& x\cdot \sin x - (-\cos x)\\ &=& x\cdot \sin x + \cos x+c \end{eqnarray}$$
Oto wynik.
Niewłaściwy wybór funkcji
Spróbujmy użyć tego przykładu, aby pokazać, co by się stało, gdybym wybrał funkcje u i $v^{\prime}$ inaczej. Wcześniej wybraliśmy
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x, $$
więc teraz spróbujemy na odwrót:
$$ u = \cos x,\qquad v^{\prime} = x $$
Obliczmy wartości funkcji $u^{\prime}$ i v. Otrzymamy:
$$ u^{\prime}=(\cos x)^{\prime} = -\sin x $$
Teraz całkujemy $v^{\prime}$:
$$ \int x \mbox{ d}x=\frac{x^2}{2} $$
Zapiszmy to w tabeli:
$$ \begin{bmatrix} u = \cos x,&v^{\prime}=x\\ u^{\prime} = -\sin x,&v=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} $$
Wstawmy to do wzoru:
$$ \int x\cos x = \cos x\cdot\frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot\frac{x^2}{2} $$
Widzimy, że nie zrobiliśmy zbyt wiele. Mamy całkę z x · cos x w zadaniu, a teraz użyliśmy metody per partes, aby uzyskać całkę z $-\sin x\cdot\frac{x^2}{2}$. Nie tędy droga.
Jak wybrać funkcje u i v'
Niestety nie ma uniwersalnej reguły, trzeba mieć trochę wyczucia. Wtedy pomaga też spojrzenie na to, co robimy z funkcjami dalej. Podstawowy wzór, od którego zaczynamy, wygląda następująco:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Jeśli całkujemy funkcję f, która jest w postaci iloczynowej, próbujemy rozłożyć ją na funkcje u i $v^{\prime}$ tak, aby zachodziła $f = u \cdot v^{\prime}$. Celem metody per partes jest sprawienie, aby całka po prawej stronie $\int u^{\prime} \cdot v$ była prostsza niż całka po lewej stronie. Nie przejmujemy się zbytnio wyrażeniem u · v, może być ono dowolnie złożone.
Aby uprościć całkę po prawej stronie, warto wybrać funkcję po u, która upraszcza się po wyprowadzeniu. Zazwyczaj ma to miejsce w przypadku funkcji takich jak xn, gdzie funkcja upraszcza się o rząd wielkości po zderzeniu. Na przykład, z x2 otrzymujemy 2x, a z x otrzymujemy 1 - jest to całkiem idealne rozwiązanie.
Z drugiej strony, dla $v^{\prime}$ staramy się wziąć coś, co nie będzie bardziej złożone po integracji. Zwykle nie możemy oczekiwać, że po całkowaniu otrzymamy prostszą funkcję $v^{\prime}$, ale możemy mieć nadzieję na funkcję o mniej więcej takiej samej złożoności. Zazwyczaj jest tak w przypadku sinusa i cosinusa, ponieważ jeden z nich będzie całkowany do drugiego, co nam nie przeszkadza.
Drugi przykład
Wypróbujmy bardziej skomplikowany przykład:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x $$
Całka z funkcji ex to ponownie ex, więc byłby to idealny kandydat do całkowania. I odwrotnie, wyprowadzenie x2 da 2x, co jest prostszym wyrażeniem. Wybieramy więc funkcje w następujący sposób:
$$ u=x^2,\qquad v=e^x $$
Cała tabela będzie wyglądać następująco:
$$ \begin{bmatrix} u=x^2,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2x,&v=e^x \end{bmatrix} $$
Wstawiamy wzór:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Mamy prostszą całkę, ale nadal nie jesteśmy w stanie obliczyć jej w całości. Zróbmy jeszcze jedną rundę per partes. Teraz obliczymy tę całkę:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Procedura będzie taka sama jak w poprzednim kroku. Wybierzemy funkcje w następujący sposób:
$$ \begin{bmatrix} u=2x,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2,&v=e^x \end{bmatrix} $$
I otrzymujemy:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \mbox{ d}x $$
Wypisujemy liczbę 2 przed całką i otrzymujemy:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot\int e^x \mbox{ d}x $$
Całka z ex ponownie wynosi ex:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot e^x $$
Dopasowujemy ten wynik do poprzedniego równania:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Po podstawieniu otrzymujemy:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x) $$
A teraz zmienimy nieco wynik na bardziej ludzką formę. Najpierw usuwamy nawias, mnożąc jego zawartość przez −1, a następnie wypisujemy ex:
$$\begin{eqnarray} \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x &=& x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x)\\ &=& x^2\cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2\cdot e^x\\ &=& e^x (x^2-2x+2) \end{eqnarray}$$
I mamy wynik.
Całka z logarytmu
To jest taka całka per partes evergreen. Spójrzmy na zapis legendy całki:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x $$
Ciekawostką w tej całce jest to, że mimo braku iloczynu rozwiążemy ją metodą per partes. Po prostu mnożąc logarytm przez jeden. Nie zmienia to funkcji, którą całkujemy, ale otrzymujemy mnożenie.
$$ \int 1\cdot\ln x \mbox{ d}x $$
Jak wybrać funkcje u i $v^{\prime}$? Nie wiemy jeszcze, jak całkować funkcję ln x (szukamy jej całki), więc wyprowadzimy logarytm. Będziemy całkować jedynkę. Z tego otrzymujemy:
$$ u = \ln x, \qquad v^{\prime} = 1 $$
Pochodną logarytmu jest 1/x:
$$ (\ln x)^{\prime} = \frac1x $$
a całka z jedynki to x:
$$ \int 1 \mbox{ d}x = x $$
Dodajmy do tabeli:
$$ \begin{bmatrix} u=\ln x,&v^{\prime}=1\\ u^{\prime}=\frac1x,&v=x \end{bmatrix} $$
i podstawmy do wzoru:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-\int \frac1x\cdot x \mbox{ d}x $$
Oblicz całkę po prawej stronie:
$$ \int\frac1x\cdot x \mbox{ d}x = \int 1 \mbox{ d}x = x $$
To daje wynik:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-x+c $$