Integracja podstawień
Kapitoly: Integralny, Integracja per partes, Integracja podstawień, Całka oznaczona
Metoda podstawiania jest bardzo skuteczną metodą całkowania. Podczas całkowania zastępujemy część funkcji inną funkcją, całkujemy i podstawiamy z powrotem.
Podstawowy wzór
Rozważmy funkcję f i jej funkcję pierwotną F na przedziale J. Następnie rozważmy funkcję rzeczywistą $\phi$, która jest pochodną na przedziale I i jeszcze $\phi(I) \subseteq J$. Wtedy
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = F(\phi(t)). $$
Jak przeszliśmy z lewej strony na prawą?
Skorzystamy z tego twierdzenia, wybierając podstawienie $x = \phi(t)$ i zmieniając zmienną całkowania - z dt otrzymamy dx. Zaczniemy więc modyfikować całkę po lewej stronie, po prostu zastępując $\phi(t)$ przez x i przepisując dt na dx:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x $$
Zauważmy, że jeśli podstawimy $x = \phi(t)$, to nagle mamy obliczoną pochodną (już wyprowadzoną przez x): $x^{\prime} = 1$. Możemy więc wyrzucić pochodną x z całki:
$$ \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x $$
Ponadto, z założenia, F jest funkcją pierwotną względem funkcji f, więc możemy zastąpić całą całkę funkcją F:
$$ \int f(x) \mbox{ d}x = F(x) $$
Na koniec cofamy podstawienie, zapisując oryginalną $\phi(t)$ zamiast x:
$$ F(x) = F(\phi(t)) $$
W ten sposób uzyskaliśmy równość ze wstępu:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \ldots = F(\phi(t)). $$
Tak mniej więcej będziemy używać tego zdania.
Przykład pierwszy
Oblicz tę całkę:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$
Znamy wzór na całkę sin x (lub tutaj sin t), ale nie znamy wzoru na sin 6x. Użyjemy więc podstawienia. Dokonamy podstawienia w następujący sposób: x = 6t Zgodnie z poprzednim wzorem:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \mbox{ d}x, $$
gdzie $x = \phi(t)$. Dla naszego szczególnego przypadku, f = sin i $\phi(t) = 6t$. Zatem, zgodnie ze wzorem, zachodzi następująca zależność:
$$ \int (\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime} \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
gdzie x = 6t. Problem polega na tym, że chcemy obliczyć całkę z sin 6t, a nie całkę z $(\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime}$. Jak z tego wybrnąć? Spróbujmy wyprowadzić funkcję 6t. Otrzymujemy:
$$ \int (\sin 6t) \cdot 6 \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
Liczba sześć jest stałą, którą możemy umieścić przed całką:
$$ 6\cdot\int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
Teraz dzielimy całe równanie przez sześć:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot\int \sin x \mbox{ d}x, $$
Po lewej stronie mamy oryginalną funkcję, którą chcieliśmy obliczyć na początku. Musimy tylko obliczyć całkę po prawej stronie. Całka z sin x jest równa −cos x:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot(-\cos x), $$
A po x dodajemy z powrotem 6t:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = -\frac16\cdot\cos 6t + c, $$
I to jest gotowy wynik.
Przykład pierwszy łatwiejszy
Poprzednia procedura była poprawna, ale zwykle podstawienie jest zapisywane nieco inaczej. Ponownie zadanie:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$
Zapisz podstawienie w nawiasie po całce w następujący sposób:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} $$
W pierwszym wierszu zapisujemy nasze podstawienie, tj. x = 6t. Teraz wyprowadzimy obie strony. Lewą przez x, a prawą przez t. W drugim wierszu pierwszej kolumny zawsze będziemy mieli dx, ponieważ pochodna x zawsze wychodzi 1. Zatem wyrażenie dx wskazuje tylko, że wyprowadziliśmy je przez x.
Prawą stronę wyprowadzamy normalnie przez t. Otrzymujemy $(6t)^{\prime} = 6$ i dodajemy dt, ponieważ wyprowadziliśmy przez t. Jeśli chcemy ułatwić sobie pracę, możemy jeszcze napisać dt:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt \end{bmatrix} $$
W następnym kroku wykonujemy samo podstawienie. Więc co zamierzamy zastąpić czym? Chcemy mieć wyrażenie x zamiast 6t, więc będzie to pierwsze podstawienie. Ponieważ wstawiamy do funkcji nową zmienną x, musimy jednocześnie zmienić dt. Zamiast dt, podstawimy więc wyizolowaną wartość w trzeciej linii, dx/6.
Podsumowując: zamiast 6t piszemy x (pierwsza linia), a zamiast dt piszemy dx/6 (trzecia linia). Otrzymujemy:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} = \int \sin x \frac{dx}{6} $$
Od tego momentu procedura jest całkowicie normalna. Stawiamy szóstkę przed całką:
$$ \int \sin x \frac{dx}{6} = \frac16\cdot\int \sin x dx $$
Integruj sinus:
$$ \frac16\cdot\int \sin x dx = \frac16 \cdot (-\cos x) $$
I wstaw wyrażenie 6t z powrotem po x:
$$ \frac16 \cdot (-\cos x) =
- \frac16 \cdot \cos 6t + c $$
Drugi przykład
Oblicz całkę przy użyciu metody podstawiania:
$$ \int \tan t \mbox{ d}t $$
Prawdopodobnie moglibyśmy znaleźć tangens w niektórych tabelach, ale możemy łatwo obliczyć tę całkę samodzielnie. Pierwszą rzeczą do zrobienia jest rozłożenie stycznej na iloraz sin/cos:
$$ \int \tan t \mbox{ d}t = \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t $$
Wybieramy podstawienie w następujący sposób: x = cos t Otrzymujemy:
$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t \end{bmatrix} $$
Teraz wyodrębnijmy dt:
$$ dt=-\frac{dx}{\sin t} $$
Teraz możemy podstawić do całki. Zamiast cos t piszemy x, a zamiast dt piszemy −dx/sin t.
$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t\\ \end{bmatrix} = \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} $$
Drobny problem polega na tym, że pozostawiliśmy poprzednią zmienną całkowitą t, w wyrażeniu, w sinusie. Na szczęście jednak oba nasze sinusy zostają wymazane i otrzymujemy :
$$ \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} = \int -\frac{dx}{x} $$
Rozbijmy to trochę, aby uzyskać ładniejsze wyrażenie. Przenosimy dx po ułamku i umieszczamy jedynkę w liczniku. Przeniesiemy znak minus przed całkę:
$$ \int -\frac{dx}{x} = -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x $$
Znamy już całkę z 1/x, jest to logarytm. Otrzymujemy więc:
$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| $$
I umieszczamy oryginalną cos t z powrotem po x.
$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln x = -\ln |\cos t| + c $$
Trzeci przykład
Oblicz całkę przy użyciu metody podstawiania:
$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t $$
Możesz być zdezorientowany faktem, że mamy dwie zmienne w całce: x i t. Nie ma to znaczenia, ponieważ wiemy z dt, że całkujemy przez zmienną t, więc x zachowuje się jak stała. Nie przejmujmy się już wilkiem i przenieśmy x przed całkę:
$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t $$
Nie mamy wielu wzorów dla sin3, ale moglibyśmy znaleźć coś dla sin2, więc zmodyfikujmy funkcję w następujący sposób:
$$ x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t $$
Teraz rozkładamy sin2 zgodnie ze wzorem sin2t = (1−cos2t). Otrzymujemy całkę:
$$ x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t = x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t $$
Teraz dokonujemy podstawienia. Mamy zmienną x, więc użyjemy na przykład y. Wybieramy y = cos t
$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix} $$
Sprawimy, że dt będzie samodzielne:
$$ dt=-\frac{dy}{\sin t} $$
i umieścimy ją w całce:
$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix}= -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t} $$
Siny znów będzie ładnie obcięte:
$$ -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy $$
Możemy teraz rozłożyć tę całkę na dwie całki:
$$ -x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy=-x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right) $$
Są to wszystkie wartości tablicowe:
$$ -x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right)=-x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right) $$
Teraz dodajemy z powrotem po y oryginalną cos t:
$$ -x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right)=-x\cdot \left(\cos t-\frac{\cos^3t}{3}\right)+c $$
To jest wynik końcowy.