Zawartość wielokąta foremnego

Na przykład wielokąt foremny to kwadrat - jest to wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej wielkości. Na przykład tak wygląda ośmiokąt foremny:

Jak obliczyć zawartość takiego ośmiokąta foremnego, jeśli znamy długość jego boku? Załóżmy na przykład, że bok ma długość a = 10. Możemy pomóc, dzieląc ośmiokąt na osiem przystających trójkątów:

Uprościło to naszą pracę - teraz musimy tylko obliczyć zawartość jednego z trójkątów i pomnożyć tę zawartość przez osiem, aby uzyskać zawartość całego ośmiokąta. Co wiemy o tych trójkątach? Są to trójkąty równoramienne - długości dwóch boków, które są skierowane od środka S są zawsze tej samej długości, a długość boku ośmiokąta jest inna (tylko sześciokąt można podzielić na trójkąty, które mają wszystkie boki tej samej długości). Zatem długość boku FS jest taka sama jak długość boku ES.

Jaki kąt tworzą w wierzchołku S? To znaczy, jaki kąt tworzy na przykład $\angle FSE$? Widzimy, że wszystkie trójkąty są takie same, a zatem wszystkie kąty przy wierzchołku S muszą być tej samej wielkości. Jednocześnie wiemy, że jeśli dodamy wielkości wszystkich tych kątów, otrzymamy 360 stopni - jeden pełny obrót. Zatem wielkość kąta $\angle FSE$ musi być równa 360 podzielone przez liczbę kątów, czyli podzielone przez liczbę trójkątów.

$$\Large \angle FSE = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$

Ponieważ suma wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa $180^\circ$, a mamy trójkąt równoramienny, musi być prawdą, że pozostałe dwa kąty mają taką samą wielkość $67,5^\circ$:

Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego? Znamy długość boku FE z zadania, czyli |FE| = 10. Teraz narysujemy wysokość trójkąta przechodzącą przez punkt S:

Ta linia SP_s podzieliła nasz trójkąt na dwa mniejsze trójkąty, ale są one ponownie takie same - są po prostu lustrzanymi odbiciami. Zmieńmy nieco układ trójkątów. Weźmy trójkąt FSP_s i przesuńmy go tak, aby wzór utworzył prostokąt:

Ten prostokąt SF₁EP_s ma taką samą zawartość jak nasz trójkąt FSE. Obliczamy zawartość prostokąta jako iloczyn długości jego dwóch boków:

$$\Large S_\square = |v_s|\cdot |P_sE|$$

Znamy długość odcinka P_sE, jest on połową długości boku FE i ma długość (zgodnie z przyporządkowaniem - jest bokiem ośmiokąta) |FE| = 10. Odcinek P_sE ma więc długość |P_sE| = 5. Gorzej jest z wysokością v_s. Ponieważ trójkąt P_sSE jest trójkątem prostokątnym, możemy skorzystać z funkcji goniometrycznej. Kąt $\angle P_sSE$ jest o połowę mniejszy od pierwotnego kąta $\angle PSE$, więc

$$\large \angle P_sSE = \frac{\angle PSE}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Wykorzystamy teraz fakt, że cotangens kąta jest równy stosunkowi długości sąsiedniej gałęzi do przeciwległej gałęzi. Dla jasności będziemy oznaczać kąt $\angle P_sSE$ grecką literą α:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha = \frac{|v_s|}{|P_sE|}$$

Musimy znaleźć |v_s| z tego równania, więc mnożymy całe równanie przez |P_sE|, aby otrzymać:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|=|v_s|$$

Teraz wiemy, ile wynosi wysokość. Zsumujmy wartości:

$$\begin{eqnarray} |v_s|&=& \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|\\ &\approx&2{,}414\cdot5\\ &\approx&12 \end{eqnarray}$$

Wysokość ma długość około 12. Zawartość prostokąta, a więc i trójkąta, jest równa

$$\Large S_\triangle=|v_s|\cdot|P_sE|$$

Po przesunięciu mamy:

$$\Large S_\triangle=12\cdot5=60$$

Zawartość trójkąta jest równa około 60. Ponieważ mamy w sumie osiem trójkątów, zawartość ośmiokąta foremnego o boku długości a = 10 jest równa w przybliżeniu

$$\Large S=8\cdot S_\triangle = 480$$

W jaki sposób otrzymujemy wzór? Dla ogólnego n-prostokąta o długości boku a, prawdą jest, co następuje

$$\large S = n\cdot S_\triangle$$

Pozostaje nam więc ogólny wzór na $S_\triangle$:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \alpha\cdot\frac{a}{2}$$

Kąt α jest o połowę mniejszy od kąta że, więc

$$\large \alpha = \frac{360^\circ}{n\cdot2}=\frac{180^\circ}{n}$$

Dodajemy z powrotem:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}\cdot\frac{a}{2}$$

Musimy to jeszcze trochę wygładzić:

$$\large S_\triangle =\frac14\cdot a^2 \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

W ostatnim kroku po prostu mnożymy tę wartość przez liczbę boków kąta n i mamy wynikowy wzór:

$$\large S =\frac14\cdot a^2\cdot n \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

Oblicz zawartość n-kąta foremnego.