Powierzchnia walca
Kapitoly: Zawartość kwadratu, Zawartość prostokąta, Zawartość koła, Zawartość trapezu, Zawartość równoległoboku, Zawartość rombu, Zawartość regularnego n-gonu, Powierzchnia kuli, Powierzchnia sześcianu, Powierzchnia prostopadłościanu, Powierzchnia walca, Powierzchnia igły
Pole powierzchni walca mówi nam, jak duża jest zawartość powierzchni ograniczających walec. Uważaj, aby nie pomylić tego z objętością cylindra, która mówi nam "ile litrów wody jesteśmy w stanie wlać do cylindra". Przyjrzyjmy się jak wygląda taki cylinder:
Wzór
Jeśli szukasz tylko wzoru, to pole powierzchni cylindra, którego podstawa ma promień r i który ma wysokość v, oblicza się jako
$$\Large S=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot v$$
Kalkulator: oblicz pole powierzchni walca
Jak doszliśmy do tego wzoru?
Każdy walec ma dwie podstawy: są to dwa okręgi na górze i na dole. Następnie cylinder ma powłokę, która jest obszarem "pomiędzy" podstawami. Jeśli chcemy obliczyć powierzchnię walca, musimy obliczyć zawartość dwóch podstaw, zawartość powłoki i dodać te wartości do siebie. Ponieważ podstawa składa się z okręgu, do obliczenia zawartości okręgu używamy wzoru
$$\Large S_\circ=\pi\cdot r^2,$$
gdzie r jest promieniem podstawy. Na rysunku jest to pozioma przerywana linia. Jeśli dla przykładu r = 6, to zawartość podstawy jest równa
$$\Large S_\circ=\pi\cdot 6^2 = 36\pi$$
Następnie musimy obliczyć zawartość powłoki. Możemy zauważyć, że powłoka jest utworzona przez "zwinięty" prostokąt. Jeden bok prostokąta ma długość równą wysokości v walca, pionowa przerywana linia na rysunku. Drugi bok, po "rozwinięciu", miałby taki sam rozmiar jak obwód okręgu tworzącego podstawę. Obliczamy więc najpierw obwód podstawy, korzystając ze wzoru na obliczanie obwodu okręgu, który wynosi
$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot r$$
Po podstawieniu otrzymujemy:
$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot 6 = 12 \pi$$
Obwód podstawy wynosi 12π. Obliczamy objętość prostokąta, oznaczmy go $S_\square$, po prostu mnożąc długości dwóch boków:
$$\Large S_\square = 12\pi \cdot v$$
Gdyby wysokość walca wynosiła, powiedzmy, v = 10, otrzymalibyśmy
$$\Large S_\square = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$$
Całkowite pole powierzchni walca, nazwijmy je S, otrzymamy dodając wszystkie wyniki (i pamiętając, że walec ma dwie podstawy):
$$\Large S=S_\circ+S_\square+S_\circ$$
czyli po naprowadzeniu:
$$\Large S=36\pi+120\pi+36\pi=192\pi$$
Jeśli nie podoba nam się wynik ze stałą π, możemy podstawić przybliżoną wartość 3,14 zamiast π, aby uzyskać przybliżony wynik
$$\Large S\approx 192\cdot3{,}14=602{,}88$$