Powierzchnia sześcianu

Sześcian to trójwymiarowa bryła podobna do sześcianu, której ściany są prostokątami lub kwadratami. Zobaczmy, jak wygląda sześcian:

Aby obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu, musimy obliczyć zawartość wszystkich sześciu ścian prostopadłościanu i dodać je do siebie. Zawartość przeciwległych ścian jest zawsze taka sama. Jeśli sześcian ma długości boków równe a, b, c, jak pokazano na rysunku, to powierzchnia sześcianu jest równa

$$\Large S=2ab+2ac+2bc$$

co można dalej uprościć do wzoru

$$\Large S=2(ab+ac+bc)$$

Kalkulator: oblicz pole powierzchni sześcianu

Jak to obliczyliśmy?

Musimy zsumować zawartość wszystkich ścian. Najpierw możemy wziąć te dwie przeciwległe ściany:

Ściany te są utworzone przez prostokąty ABGH i CDEF. Używamy więc wzoru do obliczenia zawartości prostokąta poprzez pomnożenie długości boków prostokąta. Zawartość prostokąta ABGH obliczamy mnożąc długości boków prostokąta przez długości boków prostokąta.

$$\Large S_{\small{ABGH}}=|AB|\cdot|BG|$$

Obliczamy zawartość drugiego prostokąta CDEF jako

$$\Large S_{\small{CDEF}}=|CD|\cdot|DF|$$

Zauważmy jednak, że długość boku AB jest taka sama jak długość boku CD, a długość boku BG jest taka sama jak długość boku DF. Zatem zawartość obu prostokątów będzie taka sama. Prawdą jest zatem, że zawartość dwóch zaznaczonych boków prostopadłościanu będzie równa

$$\Large S_1=2\cdot|AB|\cdot|BG|$$

Następnie obliczamy zawartość dwóch ścian bocznych:

Wiemy, że zawartość obu ścian będzie równa. Obliczamy więc zawartość prostokąta BGFD jako

$$\Large S_{\small{BGFD}}=|BG|\cdot|GF|$$

Zawartość obu ścian będzie równa

$$\Large S_2=2\cdot|BG|\cdot|GF|$$

Pozostaje obliczyć zawartość przedniej i tylnej ściany:

Zawartość prostokąta ABCD będzie równa

$$\Large S_{\small{ABCD}}=|AB|\cdot|BD|$$

a zawartość całego podświetlonego obszaru będzie równa

$$\Large S_3=2\cdot|AB|\cdot|BD|$$

Obliczamy pole powierzchni całego sześcianu, dodając wszystkie częściowe zawartości:

$$\Large S=S_1+S_2+S_3$$