Objętość i zawartość

Najpierw bardzo krótko o teorii, na wypadek gdyby ktoś nie wiedział. Obwód bryły to suma długości wszystkich jej boków, wyrażona w metrach i jednostkach pochodnych. Obwód jest zwykle oznaczany literą O. Objętość bryły jest wielkością obszaru, który tworzy bryłę, jest obliczana w metrach kwadratowych, matematycznie metr kwadratowy jest wyrażany za pomocą dwójki w indeksie górnym: ^m2. Objętość to przestrzeń, którą tworzy ciało stałe, w prostych słowach wyraża ona, ile wody można wlać do środka. Objętość oblicza się w metrach sześciennych i jednostkach pochodnych, a miary przestrzenne zapisuje się za pomocą trójki w indeksie górnym: ^m3. Objętość jest powszechnie zapisywana za pomocą litery V. Zawartość i objętość można również wyrazić w innych (i prawdopodobnie częściej używanych) jednostkach, takich jak ar lub hektar dla zawartości i litr dla objętości. Więcej informacji na temat jednostek można znaleźć na stronie units.cz. Zawartość lub objętość można zazwyczaj obliczyć za pomocą całek.

Kwadrat i prostokąt

Obie bryły są dwuwymiarowe, więc można tu znaleźć tylko obwód i zawartość. W przypadku kwadratu jest to najłatwiejsze, ponieważ kwadrat z definicji ma wszystkie boki tej samej długości. Tak więc, aby obliczyć obwód kwadratu, po prostu bierzemy jeden bok kwadratu i mnożymy go przez cztery (liczba boków): O=4a. Obwód prostokąta jest tylko nieco bardziej skomplikowany. Prostokąt ma zawsze dwa boki równej długości, więc istnieją dwa sposoby: albo po prostu dodać wszystkie boki, albo wziąć długości dwóch różnych boków, pomnożyć je przez dwa i zsumować: O=2a+2b.

Zawartość kwadratu nie jest bardziej skomplikowana niż jego obwód. Bierzemy jeden bok i mnożymy przez drugi. Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki tej samej długości, wzór jest następujący: S = a-a = ^a2. Prostokąt działa dokładnie tak samo jak kwadrat, z wyjątkiem tego, że prostokąt nie ma wszystkich boków tej samej długości, więc musisz pomnożyć dwa różne prostopadłe boki: S = a-b.

Prostokąt

Równoległobok to figura, która jest podobna do prostokąta, ale ma dwa przeciwległe boki, które są przekrzywione, patrz rysunek poniżej tego akapitu. Obwód równo ległoboku jest prosty i zasadniczo taki sam jak obwód prostokąta: O=2a+2b, ale zawartość jest nieco bardziej interesująca. Aby obliczyć zawartość równoległoboku, musimy uczynić go prostokątem, w przeciwnym razie nie możemy tego zrobić. Poniższy rysunek pokazuje, jak zrobić z niego prostokąt:

Najpierw odcinamy nadmiarową część równoległoboku (kolorową część) i dodajemy ją do drugiego boku równoległoboku, aby utworzyć prostokąt:

Dopiero teraz możemy łatwo obliczyć zawartość równoległoboku, wzór będzie taki sam jak dla prostokąta. Jednak graficzna konwersja równoległoboku nie jest wygodna, stosuje się prosty wzór oparty tylko na tej konwersji. Bok a będzie identyczny zarówno w przypadku prostokąta, jak i równoległoboku, różni się tylko drugi bok. Tak więc w przypadku równoległoboku zamiast boku b obliczymy wysokość równoległoboku równą bokowi b w zmodyfikowanym prostokącie. Jest to wyraźnie pokazane na poniższym rysunku (pomnożymy boki zaznaczone na czerwono):

Wzór wygląda następująco: _S=va-a.

Nieparzysta liczba

Obwód jest jasny, dodajmy wszystkie boki razem. Zawartość trapezu to większy orzech do zgryzienia. Teoretycznie moglibyśmy zrobić to samo, co w przypadku równoległoboku, ale nie wiemy, czy wziąć dłuższy(AB), czy krótszy(CD) bok.

Dlatego używamy sztuczki - obliczamy średnią długość dwóch równoległych boków i liczymy z nią. Dodajemy więc długości boków AB i CD, dzielimy przez dwa, a następnie obliczamy tak samo jak dla równoległoboku - mnożymy przez wysokość i mamy zawartość. S=(a+c)/2 -_va.

Trójkąt

Trójkąt jest dwuwymiarową bryłą i jako taki możemy obliczyć jego obwód i zawartość, nie może i nie ma objętości. Obliczamy obwód trój kąta dodając wszystkie jego boki. Ogólny wzór wygląda więc następująco: O=a+b+c. Oczywiście możemy znaleźć szczególne przypadki, na przykład jasne jest, że trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, więc wystarczy znać długość jednego boku i pomnożyć ją przez trzy. Wtedy wzór wyglądałby następująco: O'=3a.

Będziemy potrzebować jednej małej korekty dla zawartości trójkąta. Aby obliczyć zawartość trójkąta, musimy uczynić go równoległobokiem (podobnie jak uczyniliśmy prostokąt z równoległoboku). Ponownie, poniższa mała ilustracja pokazuje nam, jak zrobić równoległobok z trójkąta:

Na podstawie tego rysunku powinno być jasne, jak obliczyć zawartość trójkąta - zrobisz to samo, co w przypadku obliczania zawartości równoległoboku, ale podzielisz wynik przez dwa: S=(_va-a)/2

Okrąg

Okrąg jest szczególnym kształtem, ponieważ nie można obliczyć jego obwodu ani zawartości. Przynajmniej nie z absolutnie dokładną wartością. Cokolwiek chcemy obliczyć za pomocą okręgu, prawdopodobnie nigdy nie obejdziemy się bez stałej Pi - π. Dokładna wartość π nie jest znana, jest to liczba niewymierna, ale jej przybliżona wartość, która jest zwykle używana (chyba że masz jej wartość zapisaną w kalkulatorze), wynosi 3,14.

Przejdźmy teraz do formuł. Pierwsi myśliciele wymyślili, jak obliczyć obwód koła lub okręgu (okrąg to po prostu linia, łuk; okrąg nie ma wnętrza, a zatem nie ma treści, podczas gdy okrąg ma treść, ponieważ wnętrze koła jest zawarte). Odkryto, że stosunek średnicy koła (którą można łatwo zmierzyć) do obwodu koła jest zawsze taki sam, a z czasem obliczono nawet, ile razy obwód koła jest większy od jego średnicy. I świat się dziwi - jest to dokładnie pi razy pi. Obliczamy więc obwód okręgu jako O=π-d=2-π-r (ten drugi, bardziej skomplikowany wzór jest częściej podawany, bo zwykle znamy promień, a nie średnicę), gdzie d to średnica, a r to promień okręgu.

Objętość okrę gu wynosi wtedy ^S=π-r2, nie wiem co więcej powiedzieć :-).

Sześcian i prostopadłościan

Są to pierwsze bryły przestrzenne, więc dla nich wyznaczymy pole powierzchni i objętość. Ponieważ sześcian ma sześć ścian i wszystkie ściany są kwadratami, procedura jest jasna: obliczamy zawartość jednej ściany, a następnie mnożymy ją przez sześć. ^S=6a2. W przypadku sześcianu jest to już bardziej żmudne, ponieważ ma on kilka różnych ścian. Zasadniczo wystarczy obliczyć zawartość trzech różnych ścian, dodać i pomnożyć przez dwa, aby uzyskać pole powierzchni bryły: S=(a-b + b-c + a-c)-2.

Objętość sześci anu oblicza się dokładnie w taki sam sposób, jak objętość kwadratu, z tą drobną różnicą, że nie możemy zapominać, że znajdujemy się w przestrzeni. Krótko mówiąc, wystarczy wziąć długość boku i pomnożyć ją do trzeciej: ^V=a3. W przypadku sześcianu jest podobnie, ale musimy pomnożyć trzy boki osobno, ponieważ mają one różne długości: V=a-b-c.

Kule

Pole powierzchni kul i (=powierzchnia kuli) oblicza się jako ^S=4-π-r2, a objętość kuli to ^V=4/3-π-r3. Jeśli chcesz przeczytać dość skomplikowane wyprowadzenie obliczeń objętości kuli, zajrzyj do zasady Cavalieriego. Wyprowadzenie pola powierzchni kuli znajduje się na przykład na forum tutaj.

Cylindry

Pole powierzchniwalca obliczamy jako sumę zawartości dwóch podstaw z zawartością ścian. Podstawą jest okrąg normalny, więc zawartość jednej podstawy będzie równa zawartości okręgu, więc oblicz zawartość jednej podstawy w następujący sposób:

$$S_p=\pi\cdot r^2$$

Ściana walca to nic innego jak "zwinięty" prostokąt, w którym długość jednego boku jest równa wysokości walca (oznaczanej przez v), a drugiego jest równa obwodowi okręgu przy podstawie. Zawartość ściany jest więc równa:

$$S_s=v\cdot2\pi r$$

Zawartość powierzchni całego cylindra jest więc równa:

$$S=2\cdot S_p+S_s=2\pi r^2+2v\pi r=2\pi r(r+v)$$

Objętość wal ca to po prostu wysokość pomnożona przez zawartość podstawy. Zawartość podstawy obliczyliśmy już w poprzednim kroku. Wynik:

$$V=v\cdot\pi r^2$$

Igła i stożek

Zawartość powierzchni st ożka jest zazwyczaj obliczana jako suma zawartości podstawy i zawartości wszystkich ścian. Nie ma na to ogólnego wzoru. Objętość stożka ma coś wspólnego z obliczaniem zawartości trójkąta - bierzemy zawartość podstawy i mnożymy ją przez wysokość stożka. Następnie dzielimy wynik przez trzy i otrzymujemy objętość piramidy. V = (_Sp - v)/3, gdzie _Sp to objętość podstawy.

Pole powierzchni obracającego się st ożka jest równe sumie zawartości podstawy i zawartości powłoki. Zawartość podstawy jest oczywista, jest to zwykły okrąg, więc ^S=π-r2. Zawartość powłoki jest nieco bardziej skomplikowana, musisz sobie wyobrazić, że "rozkładasz" powłokę na stole, a to daje ci rodzaj okrągłego przekroju, którego zawartość jest równa: S=π-r-s, gdzie s jest promieniem powłoki (odległość wierzchołka stożka od krawędzi podstawy, w zasadzie coś w rodzaju krawędzi igły). Objętość stożka wynosi V=(π - ^r2 - h)/3, gdzie h to wysokość stożka.

Przykład dla objętości

Oblicz zawartość poniższego rysunku (przyjmijmy, że miary na osi są w metrach):

Na pierwszy rzut oka widzimy, że bryła ta jest rodzajem ogólnego wielokąta, do którego nie możemy zastosować żadnego wzoru jako całości. Musimy zatem podzielić ją na mniejsze części, które możemy już obliczyć. Najwygodniejszym sposobem jest uczynienie dolnej części trójkątem, a górnej trapezem. Podział został przedstawiony na poniższym rysunku:

Teraz oblicz zawartość trójkąta ABE korzystając ze wzoru S = (a -_va)/2. Bok a w tym przypadku będzie bokiem AE, a wysokość poprowadzona do tego boku będzie bokiem EB. Widzimy, że |AE|=3 m i |EB|=1 m. Podstawiając do wzoru otrzymujemy: S=(3 - 1)/2=1,5^m2.

W drugim kroku obliczymy pole trapezu korzystając ze wzoru S=(a+c)/2 -_va. W naszym przypadku bok a będzie bokiem AE, a bok c będzie bokiem DC. Wysokość można łatwo odczytać z rysunku, jest to długość odcinka linii EC. Podstawiając do wzoru otrzymujemy: S=(3+2)/2 - 2=5^m2.

Dodajemy dwa poprzednie wyniki cząstkowe i otrzymujemy objętość bryły. S = 1,5 m + 5 m = 6,5 ^m2.

Oblicz zawartość poniższej figury (przyjmijmy, że miary na osi są w metrach):

Ponownie, zapewne już na pierwszy rzut oka widać, że jeden wzór nie wystarczy i że będziemy musieli ten wzór w jakiś sposób zmodyfikować. Obliczymy to w następujący sposób: oblicz zawartość "kwadratu", dodaj do niego trzy czwarte zawartości koła i odejmij mały trójkąt, na dole po lewej stronie:

Zawartość kwadratu obliczymy w prosty sposób: _S1 = 2 - 2 = 4^m2. W drugim kroku obliczamy zawartość okręgu. Ponownie, po prostu dodajemy go do wzoru i obliczamy _S2 = π -¹² - 3/4 = 3π/4. Pozostaje tylko obliczyć zawartość trójkąta DEI i odjąć ją od zawartości kwadratu. Bok EI i jego wysokość DI mają tę samą długość 1 m, więc zawartość trójkąta wyniesie _S3 = ½.

W ostatnim kroku dodajemy i odejmujemy wyniki częściowe: S =_S1 +_S2 - _S3 = 3,5^m2 + 3π/4^m2.