Równoważne modyfikacje nierówności

Modyfikując nierówności, używamy modyfikacji równoważnych, które charakteryzują się tym, że nie zmieniają ważności nierówności. Celem równoważnych modyfikacji jest doprowadzenie nierówności do jakiejś prostszej postaci, z której możemy już obliczyć wynik nierówności.

Czym jest nierówność

Mamy dwie funkcje f(x) i g(x). Nierówność rozumiemy jako wyrażenie w jednej z tych postaci:

$$\begin{eqnarray} f(x) < g(x),&\quad& f(x) > g(x)\\ f(x)\le g(x),&\quad& f(x)\ge g(x) \end{eqnarray}$$

Rozwiązaniami nierówności są wszystkie x ze (zwykle) zbioru liczb rzeczywistych, dla których nierówność jest spełniona. Przykładowa nierówność: 6x<12. Tutaj, f(x) = 6x i g(x) = 12. 6x jest lewą stroną nierówności, 12 jest prawą stroną. Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie x, które są mniejsze od dwóch: x<2 Zatem przedział (−∞, 2).

Zmiana stron za pomocą zmiany znaku

W przypadku równań możemy łatwo zamienić prawą stronę na lewą. Nie możemy tego zrobić w przypadku nierówności. Na przykład, mamy nierówność x<5, więc nie może to być również 5 < x. W pierwszym przypadku x jest mniejsza niż pięć, w drugim przypadku x jest większa niż pięć. Jeśli jednak zmienimy znak nierówności w tym samym czasie, co zamiana strony, będzie to już równoważne dostosowanie.

Tak więc, jeśli mamy nierówność f(x) < g(x), to możemy również napisać g(x) > f(x). Zmieniliśmy strony, ale jednocześnie napisaliśmy > zamiast <. Podobnie dla mniejszej lub równej: Możemy zmodyfikować nierówność f(x)≤ g(x) na g(x)≥ f(x).

Dodawanie wyrażenia

Możemy dodać liczbę lub funkcję do nierówności, która jest zdefiniowana w tej samej dziedzinie, co dziedzina, w której rozwiązujemy nierówność. Przykład: mamy nierówność x>0. Na przykład, możemy dodać liczbę trzy do tej nierówności. Otrzymamy nierówność x + 3>3. To ma sens.

Podobnie możemy dodać całą funkcję. Jeśli mamy nierówność x > −3x + 7, możemy dodać 3x do nierówności i otrzymać:

$$\begin{eqnarray} x& > &-3x+7\quad/+3x\\ x+3x& > &-3x+3x+7\\ 4x& > &7 \end{eqnarray}$$

Oczywiście możemy odjąć wyrażenie w ten sposób - lub możemy dodać liczbę ujemną.

Mnożenie nierówności przez wyrażenie dodatnie

Nie możemy po prostu pomnożyć nierówności przez wyrażenie, tak jak możemy to zrobić z równaniami. Zasada jest taka, że dopóki mnożymy przez wyrażenie, które jest zawsze dodatnie, to wszystko jest w porządku. Ale jeśli mnożymy przez wyrażenie ujemne, musimy zmienić znak (patrz następny rozdział). Oczywiście, podobnie jak w przypadku równań, nie wolno mnożyć przez wyrażenie zerowe!

Co oznacza zawsze dodatnie wyrażenie? Najprostszym wyrażeniem, które zawsze jest dodatnie, jest liczba dodatnia. Jeśli więc mamy nierówność x>2, możemy pomnożyć ją przez dziesięć, które jest liczbą dodatnią, a ważność nierówności się nie zmieni. Otrzymamy nierówność 10x>20. Oczywiście, możemy również podzielić przez liczbę dodatnią, więc możemy otrzymać nierówność 2x>4 z tej zmodyfikowanej nierówności, dzieląc przez pięć.

Nie możemy jednak po prostu pomnożyć nierówności przez zmienną x, ponieważ w ogólnym przypadku zmienna x może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, a to nie jest dozwolone. Istnieją jednak sytuacje, w których x zawsze będzie dodatnia. Na przykład, jeśli obliczamy jakiś przykład geometryczny, możliwe jest, że zmienna x będzie reprezentować długość jakiegoś odcinka linii. Długość nie może być ujemna (w najgorszym przypadku zero), więc jeśli wiemy, że x będzie równa długości jakiegoś odcinka linii, możemy pomnożyć zmienną x przez nierówność.

Kolejnym zawsze nieujemnym wyrażeniem jest kwadrat wykładnika. Jeśli podniesiemy liczbę do kwadratu, będzie ona dodatnia (lub zerowa). Jeśli więc mamy nierówność

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

możemy pomnożyć przez wyrażenie x². Otrzymamy: 1>2x² Oczywiście pod warunkiem, że x nie jest równe zero. Istnieje wiele funkcji, które są zawsze dodatnie. Takie funkcje goniometryczne sinus i cosinus mają jako dziedzinę wartości zbiór <−1,1>. Nie zawsze jest on dodatni. Ale jeśli dodamy do nich dwa, otrzymamy zakres wartości <1, 3>, który jest już dodatnim przedziałem. Możemy pomnożyć nierówność przez taką funkcję. Jeśli więc mamy nierówność

$$\frac{x+3}{\cos(x)+3}\le 3x-5,$$

możemy pomnożyć całość przez wyrażenie cos(x)+3, ponieważ jest to zawsze funkcja dodatnia. Otrzymujemy:

$$x+3\le(3x-5)(\cos(x)+3).$$

Mnożenie nierówności przez zawsze ujemne wyrażenie

W przypadku liczb i wyrażeń ujemnych sytuacja jest bardziej skomplikowana. Zobacz przykład: 1<2. Ta nierówność z pewnością jest prawdziwa. Co jeśli pomnożymy całą nierówność przez minus jeden? Otrzymamy −1<−2. Czy ta nierówność jest poprawna? Nie, minus dwa jest mniejsze niż minus jeden. Oczywiście mnożenie przez liczbę ujemną nie jest równoznaczne z modyfikacją nierówności.

Jeśli jednak podczas mnożenia przez liczbę ujemną w nierówności zmieniamy również znak nierówności, jest to już równoważne dostosowanie. Jeśli pomnożymy nierówność 1<2 przez −1 i jednocześnie napiszemy > zamiast <, dokonamy równoważnej korekty i otrzymamy nierówność −1>−2.

Mnożenie przez liczby ujemne jest łatwe, gorzej jest z mnożeniem wyrażeń (funkcji). Dlaczego nie możemy pomnożyć nierówności przez zmienną x? Ponieważ gdyby zmienna przyjmowała wartości dodatnie, nie zmieniłaby znaku. Gdyby przyjmowała wartości ujemne, musielibyśmy zmienić znak. Ogólnie rzecz biorąc, oba przypadki mogą wystąpić, jeśli nie mamy x ograniczone w jakikolwiek sposób, zmienna może być zarówno ujemna, jak i dodatnia. Przykład:

$$\frac{1}{x}>1$$

Błędnym podejściem byłoby pomnożenie nierówności przez zmienną x. Otrzymalibyśmy bowiem 1>x, więc rozwiązaniem są wszystkie x, które są mniejsze od jeden (oczywiście nadal z ograniczeniem, że x jest różne od zera). Ale co jeśli podstawimy liczbę −1 do oryginalnej nierówności po x? Otrzymamy:

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{-1}&>&1\\ -1&>&1 \end{eqnarray}$$

co z pewnością nie jest prawdą. Dlatego nie możemy po prostu pomnożyć nierówności przez zmienną x.

Jednakże, tak jak w poprzednim rozdziale mieliśmy wyrażenia, które są zawsze dodatnie, możemy mieć wyrażenia, które są zawsze ujemne. Najprostszym sposobem na ich uzyskanie jest umieszczenie znaku minus przed zawsze dodatnim wyrażeniem. W poprzednim rozdziale zauważyliśmy, że funkcja cos(x)+3 jest zawsze dodatnia. Jeśli umieścimy znak minus przed całym wyrażeniem, otrzymamy funkcję zawsze ujemną: −(cos(x)+3).

Mnożenie i odejmowanie nierówności przez liczbę naturalną

Potęgowanie nierówności na ogół nie jest traktowane równoważnie, jak w przypadku równań. Rozważmy następującą nierówność: x>−2 A jeśli podniesiemy ją do kwadratu? Otrzymamy: x²>4. Czy jest to nierówność równoważna? Co się stanie, jeśli podstawimy zero po x do obu równań? W pierwszym przypadku mamy 0>−2, co jest prawdą. W drugim przypadku mamy 0>4, co nie jest prawdą. Nie dokonaliśmy więc równoważnej korekty.

Kiedy możemy pomnożyć nierówność przez liczbę naturalną? Jeśli obie strony są nieujemne (dodatnie lub zerowe). Wtedy nie będzie problemu. Przykład:

$$\begin{eqnarray} 5&>&2\quad/^2\\ 25&>&4 \end{eqnarray}$$

Innym przykładem może być wartość bezwzględna, która zwraca liczbę nieujemną. Możemy więc bezpiecznie przekształcić tę nierówność w drugą:

$$\begin{eqnarray} |x|&<&3\quad/^2\\ |x|^2&<&9 \end{eqnarray}$$

Pierwiastek kwadratowy zachowuje się dokładnie tak samo jak potęga. Jeśli obie strony są nieujemne, możemy podnieść równanie do kwadratu za pomocą naturalnego pierwiastka kwadratowego. Możemy więc ładnie pierwiastkować poprzednią nierówność z powrotem do jej pierwotnej postaci:

$$\begin{eqnarray} |x|^2&<&9\quad/\sqrt{ }\\ |x|&<&3 \end{eqnarray}$$

Usuwanie niepotrzebnych wyrażeń

Często rozwiązujemy nierówność, która ma postać f(x)>0. W takim przypadku funkcja f jest złożona i można ją uprościć, usuwając niektóre wyrażenia. Spójrzmy na następującą nierówność: 2x>0 Nierówność ta ma oczywiście rozwiązanie, gdy x>0. Jeśli x jest ujemna, to 2x również. Jeśli pomnożymy liczbę ujemną przez dwa, liczba pozostanie ujemna. Dwójka nie ma mocy zmiany znaku poniższego wyrażenia po pomnożeniu.

Nadal możemy spróbować rozwiązać nierówności 5x>0, 157x>0 i π x>0. We wszystkich przypadkach rozwiązanie będzie takie samo, x>0. Dodatni współczynnik przed x nie zmieni ważności nierówności.

Formalnie rzecz biorąc, pozbywamy się tych współczynników, dzieląc nierówność przez dany współczynnik w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} 2x&>&0\quad/:2\\ x&>&0 \end{eqnarray}$$

Zauważmy, że aby usunąć dodatni współczynnik, oznaczmy go a, musi on koniecznie pomnożyć całą lewą stronę. Nie możemy usunąć dwójki z tej nierówności: 2x + 7>0, ponieważ dwójka nie mnoży całej lewej strony. Możemy jednak podzielić całe równanie przez dwa i otrzymać nierówność x + 3,5>0.

Podobnie w tym przykładzie:

$$x^2\cdot(x-3)>0$$

Może to wyglądać skomplikowanie, ale wyrażenie x² jest zawsze nieujemne, więc nie zmienia znaku następnego nawiasu. Możemy więc usunąć to wyrażenie z nierówności - podzielić nierówność przez x² i otrzymamy:

$$x-3>0$$

Musimy tylko dodać warunek, że x²≠0, ponieważ nie możemy dzielić przez zero. Jednak x² jest zerem tylko wtedy, gdy x jest zerem, a dla x = 0 nierówność nie jest spełniona. Dzieje się tak, ponieważ otrzymujemy (x = 0): 0(0 − 3)>0, a 0>0 nie jest prawdziwe.

Nie jest to dodatkowa metoda, a jedynie przydatne zastosowanie poprzedniego punktu o mnożeniu i dzieleniu przez wyrażenie dodatnie.