Ilości

Zbiór można traktować jako kolekcję elementów. Każdy zbiór zawiera pewną liczbę elementów, która może być skończona lub nieskończona. Może również nie zawierać żadnego elementu, wtedy mówimy o zbiorze pustym. Zwykle oznaczamy zbiór wielką literą, na przykład M, a elementy zbioru małą literą m.

Czym jest zbiór

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć w matematyce, za pomocą którego definiuje się wiele innych rzeczy, więc dobrym pomysłem jest wyjaśnienie na początku, czym jest zbiór, aby nie pomylić się później w nauce.

Tak więc zbiór jest kolekcją dowolnych elementów. W matematyce najczęściej pracujemy ze zbiorami liczbowymi, czyli zbiorami, których elementami są liczby. Klasyczny zapis zbioru w matematyce jest następujący:

$$M=\left\{1{,}2,3\right\}$$

Opisaliśmy w ten sposób zbiór o nazwie "M", który zawiera trzy elementy, jeden, dwa i trzy. Zbiory zawsze zapisujemy w nawiasach złożonych; praktycznie za każdym razem, gdy widzisz nawiasy złożone, jest to jakiś zbiór.

Do czego możemy używać zbiorów? Zbiory często mówią nam, jakie elementy możemy wybrać. Na przykład w życiu codziennym można powiedzieć coś w stylu "Agnieszko, zagrajmy w grę, dobrze? Pomyśl o liczbie od jednego do pięciu". Dałeś Agnieszce zakres liczb do wyboru. W matematyce użyłbyś zestawu:

$$L=\left\{1{,}2,3{,}4,5\right\}$$

Następnie możesz powiedzieć Agnieszce: "Agnieszko, zagrajmy w grę, dobrze? Wymyśl liczbę, która znajduje się w zbiorze L". Jestem pewien, że gra byłaby zabawniejsza. W matematyce używamy ∈, aby napisać, że element należy do zbioru, a jeśli nie należy, używamy $ \notin$. Więc jeśli chcemy powiedzieć, że jeden należy do zbioru L, ale siedem nie należy, napisalibyśmy to tak: 1 ∈ L i $7 \notin L$.

Oczywiście zbiór może być pusty, robi się to pisząc P = {} lub prościej P = ∅. Zauważ, że oba zapisy oznaczają "zbiór pusty", jeśli napisałbyś to tak: P = {∅}, napisałbyś zbiór, który zawiera w sobie zbiór pusty. To nie to samo, co zbiór pusty.

Nieporządek i duplikacja

Nie mówi się, że zbiór ma elementy, które są w jakiś sposób uporządkowane. Zbiór zawiera nieuporządkowany zestaw elementów. Gdybyśmy mieli dwa zbiory A = {1, 2, 3} i B = {3, 2, 1}, powiedzielibyśmy, że są one takie same. Kolejność elementów w zbiorze po prostu nie ma znaczenia.

Nie przejmujemy się również duplikatami elementów. Jeśli zbiór zawiera wiele identycznych elementów (wiele identycznych liczb), zawsze bierzemy pod uwagę tylko jedno wystąpienie tego elementu. Ponownie, gdybyśmy mieli te dwa zbiory A = {1, 1, 2, 2, 2} i B = {2, 1}, uznalibyśmy je za takie same. Nie ma znaczenia, że zbiór A zawiera "więcej" elementów, ponieważ zawiera zduplikowane lub potrojone elementy. Podczas liczenia za pomocą zbiorów po prostu odfiltrowujemy te zduplikowane elementy.

Rozmiar i równość

Możemy zdefiniować pojęcie rozmiaru zbioru, który jest liczbą elementów w zbiorze. Tak więc, z poprzedniego przykładu A = {1, 1, 2, 2, 2} i B = {2, 1}, rozmiar zbioru A wynosiłby dwa, ale rozmiar zbioru B również wynosi dwa, ponieważ nie interesują nas zduplikowane elementy podczas liczenia elementów zbioru. Rozmiar zbioru oznaczamy pionowymi liniami: |A| = |B| = 2.

Jak być może już zrozumiałeś, dwa zbiory są równe, jeśli oba zbiory mają te same elementy. Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3, 2, 3, 1\right\}\\ \left\{a, h, o, j\right\}&=&\left\{o, o, h, j, a, o\right\}\\ \left\{1, 3, 5, 9\right\}&\ne&\left\{1, 3, 9\right\}\\ \emptyset&\ne&\left\{x\right\} \end{eqnarray}$$

Istotną własnością jest to, że zbiory mogą zawierać jako swój element ponownie zbiór. Przykład: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Należy zauważyć, że zbiór C jest zbiorem trzyelementowym, a nie sześcioelementowym. Zbiór C zawiera trzy elementy: jeden, dwa i zestaw. Elementy 3, 4, 5 i 6 są zawarte w zbiorze wewnętrznym, a nie w zbiorze C. Zatem |C| = 3 ma zastosowanie. Bardziej skomplikowany przykład:

$$D=\left\{0, \left\{1, \left\{2, 3\right\}\right\}, \left\{4\right\}\right\}$$

Ile elementów zawiera zbiór D? Zawiera trzy elementy, są to elementy:

$$D_1=0,\qquad D_2=\left\{1, \left\{2{,}3\right\}\right\},\qquad D_3=\left\{4\right\}$$

Zbiór może być skończony lub nieskończony. Zbiory skończone to wszystkie te, które wymieniliśmy do tej pory. Na przykład zbiór wszystkich liczb jest nieskończony.

Podzbiór

Rozważmy dwa zbiory A = {1, 2} i B = {1, 2, 3}. te zbiory są różne, ponieważ nie zawierają tych samych elementów, zbiór B jest większy. Zauważyłeś jednak, że zbiór B zawiera dokładnie te same elementy co zbiór A, tylko ma dodatkowy element 3. W tym momencie możemy powiedzieć, że A jest podzbiorem B.

Jeśli A jest podzbiorem B, to musi być prawdą, że wszystkie elementy zawarte w zbiorze A muszą być również zawarte w zbiorze B. Bycie podzbiorem jest relacją i zapisujemy ją za pomocą symbolu ⊆. Definicja formalna:

$$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A:\quad x \in B$$

Powszechnie zakłada się, że zbiory A i B mogą być takie same, a A ⊆ B będzie nadal obowiązywać. Jeśli chcemy wyrazić ostry wariant podzbioru, używamy innego symbolu: ⊂. Wtedy jeśli A ⊂ B, to zbiór B musi być większy (jeśli jest skończony), musi zawierać element, którego nie zawiera zbiór A. Taki zbiór nazywamy "podzbiorem właściwym". Zatem, jeśli A ⊂ B, to A jest właściwym podzbiorem B. Definicja podzbioru właściwego:

$$A \subset B \Leftrightarrow (A\subseteq B \quad\wedge\quad A \ne B)$$

Definicja jest taka sama jak w przypadku klasycznego podzbioru, z wyjątkiem tego, że dwa zbiory nie mogą być równe. Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} \left\{a, h, o\right\}&\subseteq&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{a, h, o\right\}&\subset&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subseteq&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subset&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subseteq&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subset&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\subseteq&\left\{0, 1\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\not\subset&\left\{0, 1\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\emptyset\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\emptyset\right\}\\ \left\{0\right\}&\not\subseteq&\emptyset\\ \left\{0\right\}&\not\subset&\emptyset\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subseteq&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subset&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\} \end{eqnarray}$$

Właściwości podzbioru:

• A ⊆ A: zbiór jest zawsze swoim własnym podzbiorem.
• A ⊄ A: zbiór nigdy nie jest podzbiorem samego siebie.
• ∅ ⊆ A: zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.
• A ⊄ ∅zbiór pusty nie ma właściwego podzbioru.

Możemy użyć podzbiorów do zapisania równości zbiorów:

$$A = B \quad\Leftrightarrow\quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A$$

Jeśli oba zbiory są równe, to jeden jest podzbiorem drugiego.

Możemy również oznaczyć podzbiór słowem "inkluzja".

Zbiór potencjalny

Zbiór potencjalny to zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru. Jest on zwykle oznaczany jako P(M) lub 2^M.

Przykład: M = {1, 2, 3}. Jakie są wszystkie podzbiory? Z pewnością pustym podzbiorem i samym zbiorem jest M. Następny: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Wszystkie te zbiory tworzą zbiór potęgowy zbioru M. Napisz: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, a M jest zawsze podzbiorem M, zawsze będzie prawdą, że ∅ ∈ P(M) i M ∈ P(M).

Jak zapisać zbiór

Wspomnieliśmy już o jednym sposobie, po prostu wymieniając elementy. Używamy do tego nawiasów złożonych. M = {1, 2, 3} Lub N = {a, b, c, d} itd. Jeśli piszemy zbiór nieskończony, możemy użyć do tego trzech kropek, o ile jest oczywiste, w jaki sposób sekwencja elementów będzie kontynuowana: M = {1, 2, 3, …}

Głównym sposobem zapisu zbioru jest jego właściwość charakterystyczna. Ogólnie rzecz biorąc, zapis wyglądałby tak: {x ∈ X | P(x)}, gdzie X to zbiór, z którego wybieramy elementy, a P(x) to formuła określająca elementy zbioru. Formuła może być zapisana czysto matematycznie lub werbalnie. Średnik jest również używany zamiast "|": ";".

Na przykład, "niech zbiór M zawiera wszystkie liczby oznaczające pewien dzień miesiąca". Miesiąc ma co najwyżej 31 dni, więc taki zbiór miałby 31 elementów, od 1 do 31: M = {1, 2, 3, …, 30, 31} Inny zapis dla tego samego zbioru może wyglądać następująco: $\left\{x \in \mathbb{Z} | \mbox{ x oznacza dzień miesiąca }\right\}$, gdzie ℤ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Bardziej matematycznym przykładem może być "niech zbiór P zawiera wszystkie liczby dodatnie podzielne przez pięć". Wtedy zbiór wyglądałby następująco: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Spróbujmy zapisać matematycznie zbiór T liczb naturalnych mniejszych od dziesięciu: T = {x ∈ ℕ | x<10} Ten zapis mówi nam: zbiór T składa się z elementów x, które bierzemy ze zbioru liczb naturalnych i które spełniają warunek, że są mniejsze niż 10. Więc patrzymy na liczby naturalne i zwracamy tylko te, które są mniejsze niż dziesięć: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. I to wszystko.

Inny przykład: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Zdefiniowaliśmy zbiór Y, który zawiera elementy x, które bierzemy z liczb całkowitych, a jedynym warunkiem, który musi spełniać x jest to, że nie może być zerem. Zatem zbiór Y zawiera wszystkie liczby całkowite z wyjątkiem zera.

Inny przykład: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Zbiór G zawiera elementy x, które bierzemy z liczb rzeczywistych, a dla wszystkich elementów x musi zachodzić warunek, że jeśli pomnożymy je przez siebie, to otrzymamy ponownie liczbę x. Na przykład, możemy wypróbować liczbę 5. Z definicji powinna zachodzić następująca równość: 5 · 5 = 5. Oczywiście nie zachodzi, więc liczba 5 nie będzie elementem zbioru G. Spróbujmy jednego: 1 · 1 = 1 Oczywiście jest to prawdą, więc jeden będzie elementem zbioru G. Drugim i ostatnim elementem będzie liczba zero. Nie będzie to prawdą dla żadnego innego elementu. Możemy więc napisać: G = {0, 1}.

Ostatni przykład. Napiszę coś bardziej skomplikowanego, abyś mógł zobaczyć, że właściwość charakterystyczna może być złożona:

$$X=\left\{x \in \mathbb{R} | (x^2=2x)\vee(sin(x)=\pi\wedge cos(x)=\pi)\right\}$$

Zbiór jest w praktyce najczęściej definiowany przez własność charakterystyczną i można powiedzieć, że całkiem spory ułamek pojęć w matematyce jest definiowany przez zbiory. Biorąc taki przedział, możemy powiedzieć, że przedział (a, b) jest zbiorem I, dla którego:

$$I=\left\{x\in\mathbb{R} | (x > a) \wedge (x < b)\right\}$$

Są to wszystkie elementy zbioru liczb rzeczywistych, które są większe od a i mniejsze od b, co dokładnie wyraża ten przedział.

Inne materiały

• Matematyka dyskretna 1, Bělohlávek, Vychodil [PDF]
• Wikipedia