Dzielenie wielomianów przez wielomiany

Dzielenie wielomianów jest nietrywialną operacją, która jest używana stosunkowo często podczas modyfikowania i upraszczania wielomianów.

Przykład pierwszy

Dzielenie wielomianów jest już dość skomplikowane, przynajmniej w porównaniu z poprzednimi operacjami. Procedura dzielenia wielomianów jest jednak dość podobna do zwykłego ręcznego dzielenia. Zilustrujemy cały algorytm przykładami. Zacznijmy od prostego przykładu:

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)$$

Załóżmy, że mamy oba wielomiany posortowane malejąco i odpowiednio ustawione - czyli to, co mogliśmy dodać, dodaliśmy. Nie jest to niezbędne dla algorytmu, ale uprości obliczenia. W pierwszym kroku dzielimy pierwszy wyraz pierwszego wielomianu przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu (tutaj drugi wielomian ma tylko jeden wyraz, więc pierwszy wyraz drugiego wielomianu jest również równy całemu drugiemu wielomianowi). Oznacza to, że wykonujemy operację

$$4x^3 /, (2x^2) = \frac42x^{3-2}=2x$$

Dzielenie tych wyrazów bazowych odbywa się w sposób odwrotny do mnożenia, nie powinno być w tym nic dziwnego. Ponieważ jest to pierwszy krok, przepiszmy to do oryginalnego wyrażenia, które chcemy obliczyć

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x$$

i przejdźmy do drugiego kroku. Mnożymy nasz tymczasowy wynik przez drugi wielomian, wielomian, przez który dzielimy.

$$2x\cdot(2x^2)=4x^3$$

Odejmujemy ten wynik od całego pierwszego wielomianu. Zapiszemy go pod pierwszym wielomianem w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2 \end{eqnarray}$$

W tym momencie pozostaje nam wynik poniżej linii i stosujemy do niego tę samą procedurę, co do oryginalnego wielomianu. Dzielimy go przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu.

$$8x^2/(2x^2)=4$$

Dodajemy ten wynik do poprzedniego rozwiązania tymczasowego:

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x+4$$

I ponownie, mnożymy cały drugi wielomian przez cztery

$$(2x^2)\cdot4=8x^2$$

i odejmujemy go od wyniku tymczasowego.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2\\ \underline{-(8x^2)}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Po odjęciu pozostaje zero i algorytm się kończy. Po prawej stronie mamy wynik dzielenia. Jeśli chcemy wykonać test, mnożymy wynikowy wielomian przez drugi wielomian i otrzymujemy pierwszy wielomian.

$$(2x^2)\cdot(2x+4)=4x^3+8x^2$$

Drugi przykład

Zmodyfikujemy nieco poprzedni problem i spróbujemy obliczyć

$$(4x^3+8x^2+7)/(2x^2).$$

Obliczenia będą przebiegać tak samo jak w poprzednim przykładzie, tylko wynik będzie zawsze o siedem większy po odjęciu. Obliczenie wyglądałoby więc w skrócie następująco:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Procedura się nie zmieniła, dodaliśmy tylko siódemkę. W tym kroku nie możemy już jakoś ładnie wykonać dzielenia nowej różnicy (siódemki) przez drugi wielomian. Po prostu zapisujemy wynik jako siedem obcięte przez dany wielomian i dodajemy go do wyniku pośredniego.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Mnożąc z powrotem przez drugi wielomian, otrzymujemy siódemkę

$$(2x^2)\cdot\frac{7}{2x^2}=7$$

a więc po różnicy otrzymujemy zero.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7\\ \underline{-7}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Algorytm kończy się tutaj, osiągnęliśmy zero.

Trzeci przykład

Rozszerzamy drugi wielomian o dodatkowy wyraz.

$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)$$

W pierwszym kroku dzielimy pierwszy wyraz pierwszego wielomianu i pierwszy wyraz drugiego, tak jak w poprzednich przykładach.

$$6x^7/3x^3=2x^4$$

W kolejnym kroku mnożymy ten pośredni wynik przez cały drugi wielomian i odejmujemy go od pierwszego.

$$(3x^3+5)\cdot2x^4=6x^7+10x^4$$

Zapiszmy to zgrabnie pod całym przykładem.

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7 \end{eqnarray}$$

Kontynuując, dzielimy pierwszy wyraz nowo utworzonego wielomianu przez pierwszy wyraz drugiego wielomianu.

$$9x^4/3x^3=3x$$

Mnożymy przez cały drugi wielomian:

$$(3x^3+5)\cdot3x=9x^4+15x$$

Piszemy i odejmujemy:

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4+3x\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7\\ \underline{-(9x^4+15x)}\\ -15x+7 \end{eqnarray}$$

To nie może być już rozsądnie podzielone, więc po prostu dodajemy ułamek dwóch wielomianów.

$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)=2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5}$$

Gdybyśmy wykonali mnożenie i różnicę od tyłu, natychmiast otrzymalibyśmy zero, tak jak w poprzednim przykładzie. Przeprowadźmy test. Zanim przeprowadzimy dokładny test, możemy wypróbować szybki test. Wprowadźmy do wyrażeń jakąś trywialną wartość, na przykład zero. Jeśli dodamy zero do wyniku po dzieleniu, otrzymamy

$$0+0+\frac{0+7}{0+5}=\frac75.$$

Jeśli dodamy zero do dzielonych wyrażeń, otrzymamy

$$(0+0+7)/(0+5)=\frac75.$$

Jeśli nasze podejście jest poprawne, obie wartości muszą dawać ten sam wynik. Jak widzimy, wartości są równe. Chociaż ta procedura nie gwarantuje całkowitej poprawności, ponieważ musielibyśmy przetestować wszystkie możliwe wartości, które możemy zastąpić parametrem x, może ona szybko ujawnić błąd. Spróbujmy tego samego z jedną wartością. Dodajemy ją do wyniku i otrzymujemy:

$$2+3+\frac{-15+7}{3+5}=5-\frac88=4.$$

Po podstawieniu oryginalnych wyrażeń otrzymujemy

$$(6+19+7)/(3+5)=\frac{32}{8}=4.$$

Jest na dobrej drodze, ale musimy wykonać całe mnożenie, aby uzyskać ostateczne potwierdzenie.

$$\begin{eqnarray} (3x^3+5)\cdot(2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5})&=&(3x^3+5)\cdot2x^4+(3x^3+5)\cdot3x+(-15x+7)\\ &=&6x^7+10x^4+9x^4+15x-15x+7\\ &=&6x^7+19x^4+7 \end{eqnarray}$$

Więcej zasobów

Jeśli ten artykuł nie był dla Ciebie wystarczający, możesz spróbować szczęścia pod jednym z poniższych linków.

• Dzielenie wielomianów na maths.cz
• Dzielenie wielomianów na forum matematycznym