Zawartość trójkąta
Kapitoly: Trójkąt, Wysokość trójkąta, Waga trójkąta, Okręgi w trójkącie, Trójkąt prostokątny, Jak narysować trójkąt, Zawartość trójkąta, Twierdzenie Pitagorasa
Zawartość trójkąta możemy znaleźć na dwa sposoby. Albo dodajemy trójkąt do równoległoboku i obliczamy zawartość tego równoległoboku, albo używamy wzoru Herona. Możesz również obejrzeć ten artykuł w formie wideo na YouTube!
Uzupełnianie na równoległoboku
Najpierw zobaczmy, jak obliczyliśmy zawartość trójkąta, gdy był to trójkąt prostokątny. Dodaliśmy trójkąt do prostokąta, obliczyliśmy zawartość prostokąta i podzieliliśmy wynik przez dwa. Zostało to przedstawione graficznie na poniższym rysunku:
Nie możemy jednak łatwo dodać trójkąta, który nie jest trójkątem prostokątnym, do prostokąta. Ale możemy dodać go do równoległoboku. Mamy więc następujący trójkąt ABC:
Uzupełnimy ten trójkąt do równoległoboku, rysując prostą z punktu C, która będzie równoległa do prostej AB i będzie tej samej długości. Następnie narysujemy prostą z punktu A tak, aby była równoległa do prostej BC i miała tę samą długość. Otrzymamy równoległobok:
Pytanie brzmi, jak obliczyć zawartość tego równoległoboku. Nie możemy pomnożyć dwóch sąsiednich boków, jak w przypadku prostokąta. Możemy jednak łatwo utworzyć prostokąt z tego równoległoboku, który będzie miał taką samą zawartość jak równoległobok. Poniższe trójkąty zaznaczone na czerwono mają taką samą zawartość:
Jeśli przeniesiemy trójkąt AED w miejsce trójkąta BFC, otrzymamy prostokąt o tej samej zawartości:
Jest to już prostokąt, więc jego zawartość jest równa iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków. Ale jaka jest długość boku AE lub BF? Jeśli uważnie przyjrzymy się oryginalnemu trójkątowi ABC, wyróżnionemu pogrubioną czcionką, zobaczymy, że długość boku AE dokładnie odpowiada długości wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C. Co więc możemy napisać o zawartości tego prostokąta? Że jego zawartość jest równa
$$S_{\square}=|v_c|\cdot|AB|.$$
gdzie vc jest wysokością od wierzchołka C. Zawartość trójkąta jest wtedy równa połowie tej zawartości:
$$S_{\triangle}=\frac{|v_c|\cdot|AB|}{2}.$$
Ostateczny wzór
Oczywiście możemy uogólnić wzór z ostatniego rozdziału na dowolny z trzech boków:
$$\begin{eqnarray} S_{\triangle}&=&\frac{|v_a|\cdot|a|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_b|\cdot|b|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_c|\cdot|c|}{2}. \end{eqnarray}$$
Gdzie va, vb i vc oznaczają wysokości do boków a, b i c.
Wzór Herona
Jeśli nie znasz długości żadnej wysokości w trójkącie, ale znasz długości wszystkich boków, możesz obliczyć jego zawartość za pomocą wzoru Herona. Prawdą jest, że:
$$S_{\triangle}=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)},$$
gdzie
$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$