Waga trójkąta

Przeciwprostokątna trójkąta to linia łącząca wierzchołek trójkąta z punktem środkowym przeciwległego boku. Trójkąt ma dokładnie trzy linie ciężkości, a ich przecięcie tworzy środek ciężkości trójkąta.

Fragment

Spójrz na poniższy trójkąt z zaznaczonymi liniami ciężkości: Linie ciężkości są zaznaczone na czerwono. Podobnie jak w przypadku wysokości trój kątów, linie grawitacji oznaczamy małą literą t wraz z indeksem dolnym określającym bok i wierzchołek, do którego należy linia grawitacji. Ponieważ naprzeciwko wierzchołka A mamy bok a, linia ciężkości będzie również nazywana t_a.

Przeciwprostokątna dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty o tej samej zawartości. W przeciwieństwie do wysokości trójkąta, linie ciężkości wyglądają tak samo dla wszystkich typów trójkątów.

Środek odcinka

Trzy punkty S_a, S_b i S_c reprezentują punkty środkowe danych boków odcinków prostej. Punkt środkowy można obliczyć graficznie za pomocą kompasu i linijki. Na przykład środek boku AB można znaleźć, rysując dwa jednakowej wielkości okręgi o środkach w wierzchołkach A i B. Okręgi te muszą mieć promień większy niż połowa długości odcinka AB - ale promień ten musi być taki sam dla obu okręgów! Oszacuj to lub narysuj okrąg o promieniu równym długości boku AB. Te dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Połącz te punkty linią, a w miejscu, w którym linia ta przecina bok AB, znajduje się środek boku AB.

Środek ciężkości trójkąta, który jest wyimaginowanym środkiem trójkąta, jest zaznaczony na rysunku na zielono.

Środek ciężkości

Wszystkie linie grawitacji zawsze przecinają się w jednym punkcie. W ten sposób można sprawdzić, czy rysunek został wykonany prawidłowo. Jeśli przecinają się w innym miejscu, oznacza to, że narysowałeś niedokładnie lub całkowicie błędnie. Środek ciężkości zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta, w przeciwieństwie do ortocentrum, które może znajdować się poza trójkątem.

Środek ciężkości jest wyimaginowanym środkiem trójkąta, jeśli chcesz utrzymać trójkąt na punktach ołówka, powinieneś umieścić ołówek tuż poniżej środka ciężkości, aby trójkąt nie spadł.

Środek ciężkości jest dalej dzielony przez długości ciężarków w stosunku 1:2. Oznacza to, że dwie trzecie długości ciężarka znajduje się po jednej stronie środka ciężkości, a pozostała jedna trzecia po drugiej stronie. Dłuższa część linii ciężarka znajduje się zawsze w kierunku "wierzchołka" trójkąta. Z drugiej strony "blisko boku" znajduje się krótsza część. Spójrz na rysunek:

Długość odcinka linii AT (niebieska linia) jest dwa razy większa od długości odcinka linii TS_a (zielona linia). Segmenty AD, DT i TS_a mają ten sam rozmiar. Podobnie jest w przypadku innych ciężkich linii.

Środkowa linia poprzeczna

Punkt środkowy to odcinek linii, którego skrajnymi punktami są punkty środkowe boków trójkąta. Przyjrzyj się rysunkowi:

Punkty S_a, S_b i S_c są punktami środkowymi boków, tak samo jak w przypadku przycisku do papieru. Aby utworzyć środkową partycję, po prostu połączyliśmy dwa punkty za każdym razem odcinkiem linii. Oznaczamy środkowe partycje przez s wraz z indeksem, w którym umieszczamy przeciwny wierzchołek. Powstały w ten sposób trójkąt nazywamy trójkątem poprzecznym. Co ciekawe, środek ciężkości tego trójkąta poprzecznego jest taki sam jak środek ciężkości oryginalnego trójkąta. W naszym przypadku jest to punkt T.

Obliczanie długości linii grawitacji

Możemy użyć twierdzenia Apolloniusza do obliczenia długości linii grawitacji. Załóżmy teraz, że a, b, c są długościami odpowiednich boków trójkąta, podobnie t_a, t_b i t_c są długościami linii grawitacji:

$$\begin{eqnarray} t_a&=&\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ t_b&=&\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ t_c&=&\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}} \end{eqnarray}$$