Reguła L'Hospitala

Reguła L'Hospitala (czytaj: reguła lopitala) może być czasami używana do obliczania granic w postaci proporcji.

Definicja

Jeśli obliczamy granicę funkcji w punkcie, możemy użyć pochodnych, aby pomóc nam w pewnych okolicznościach. Weźmy więc funkcję udziału, tj. mamy funkcje f(x) i g(x) i szukamy granicy

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. $$

Jeśli równania f(x₀) = g(x₀) = 0 zachodzą i istnieje granica

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, $$

to relacja jest zachowana:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Jeśli granica funkcji $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ nie istnieje, to nie wynika z tego, że granica funkcji $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ również nie istnieje. Jeśli nie istnieje granica z pochodnymi, to musimy obliczyć oryginalną granicę bez pochodnych w inny sposób.

Przykład

1. Oblicz granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} $$

   Czy możemy rozwiązać ten przykład za pomocą reguły L'Hospitala? Najpierw musimy sprawdzić, czy wartość funkcyjna dwóch funkcji (tej w mianowniku ułamka i tej w liczniku) w punkcie x₀ = 3 wynosi zero. Oznaczmy te funkcje f(x) = x² − 9 i g(x) = x² − x − 6. Następnie:

   $$ \begin{eqnarray} f(3) &=& 3^2 - 9 = 0\\ g(3) &=& 3^2 - 3 - 6 = 0 \end{eqnarray} $$

   Pierwszy warunek jest spełniony. Zauważmy, że nie możemy obliczyć granicy po prostu wstawiając liczbę trzy po x, ponieważ cała funkcja jest nieciągła w punkcie x₀ = 3 lub w ogóle nie ma tam wartości funkcyjnej (nie ma wartości funkcyjnej, ponieważ musielibyśmy podzielić przez zero, aby ją uzyskać). Teraz możemy spróbować użyć reguły L'Hospitala i wyprowadzić obie funkcje. Zauważmy, że nie wyprowadzamy wzoru na iloraz, tylko oddzielnie funkcję w liczniku i funkcję w mianowniku. Otrzymujemy więc:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\\ g'(x) &=& 2x - 1 \end{eqnarray} $$

   Zamiast poprzedniej granicy możemy więc rozwiązać tę granicę:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} $$

   Ta funkcja jest ciągła w punkcie x₀ = 3, więc możemy po prostu zastąpić wartość trzy po x i obliczyć wartość funkcyjną całej funkcji:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac{2\cdot3}{2\cdot3-1}=\frac65 $$

   Widzimy, że granica tej funkcji istnieje, więc granica funkcji $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ również istnieje i te granice są równe. Zatem:

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac65. $$

2. Oblicz granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} $$

   Jaka jest sytuacja na stronie x₀ = 0? Ponownie oznaczmy f(x) = x i g(x) = sin x. Prawdą jest, że f(0) = 0 i g(0) = 0. Otrzymujemy proporcję $\frac00$, funkcja jest nieciągła w tym punkcie. Możemy spróbować skorzystać z reguły L'Hospitala. Łączymy dwie funkcje:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1\\ g'(x) &=& \cos x \end{eqnarray} $$

   Mamy pochodną funkcji, spróbujmy obliczyć granicę

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x} $$

   Jaka jest sytuacja w punkcie x₀ = 0? Ponieważ cos(0) = 1, otrzymujemy ułamek $\frac11=1$. Funkcja jest ciągła w punkcie x₀ = 0, więc zachodzi następująca zależność

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}=\frac11=1. $$

   Ponieważ ta granica istnieje, istnieje granica $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}$ i te granice są równe. Otrzymujemy

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} = 1 $$