Ograniczenie własne w punkcie własnym

Granica funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Opisuje zachowanie funkcji wokół pewnego punktu, co pozwala nam na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomaga nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w punktach, w których nie jest ona w ogóle zdefiniowana.

Granica niewłasna w punkcie niewłasnym

Połączenie poprzednich granic - szukamy granicy funkcji dla x zbliżającej się do plus lub minus nieskończoności, a sama granica również wyjdzie plus lub minus nieskończoność.

Mówimy, że ∞ jest granicą funkcji w punkcie ∞, jeśli

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x > A \Rightarrow f(x) > K)$$

oraz w punkcie −∞, jeśli

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x < A \Rightarrow f(x) > K).$$

Podobnie dla x zbliżającego się do −∞. Definicja ta łączy w sobie poprzednie zasady. Mówi nam, że jeśli szukamy granicy w nieskończoności, która z kolei ma być nieskończonością, to dla każdej granicy K na osi y znajdujemy granicę A na osi x taką, że wszystkie wartości funkcji f(x) dla x > A, tj. poza granicą A, są większe niż wybrana granica K. Innymi słowy, funkcja f(x) rośnie poza wszystkimi granicami. Niezależnie od tego, jaki limit wybierzemy na osi y, funkcja zawsze przekroczy go w czasie.

Można pomyśleć o prostej funkcji f(x) = x. Jeśli wybierzemy limit K na osi y, to dla wszystkich x > K otrzymamy wartości funkcji większe niż K.