Granica właściwa w punkcie niewłaściwym

Granica funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Opisuje zachowanie funkcji wokół pewnego punktu, pozwalając nam na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomaga nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w punktach, w których nie jest ona w ogóle zdefiniowana.

Właściwa granica w niewłaściwym punkcie

Sytuacja ta jest podobna do granicy ciągu. Szukamy granicy funkcji, gdy zbliżamy się do nieskończoności. Granica może być właściwa lub niewłaściwa. Zaczniemy od granicy właściwej.

Niech ∞ będzie punktem zbiorczym funkcji f. Wtedy L ∈ ℝ jest granicą funkcji w punkcie ∞, jeśli

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x > A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

oraz w punkcie −∞, jeśli

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x < A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Co mówi nam ta definicja? Że jeśli wybierzemy pewne ε-środowisko wokół naszej zamierzonej granicy L (tj. na osi y), to zawsze jesteśmy w stanie znaleźć punkt A na osi x taki, że jeśli weźmiemy dowolny punkt x na prawo od A, tj. x>A, to |f(x)−L| < ε będzie zachowany, tj. wszystkie wartości funkcji będą mniejsze niż ε od granicy L.

Rozważmy funkcję f(x) = (2/x)+1. Wykres:

Można zauważyć, że gdy wartość x zbliża się do nieskończoności, wartość funkcji f(x) zbliża się do jedności. Wybieramy więc L = 1. Teraz udowodnimy, że L = 1 jest rzeczywiście granicą tej funkcji przy plus nieskończoności. Najpierw wypróbujmy to. Wybierzemy jakiś epsilon, na przykład $\epsilon=\frac12$. Teraz spróbujemy znaleźć A ∈ ℝ taką, że dla wszystkich x, które są większe niż A, wartość funkcji jest mniejsza niż ε z dala od L. Naszkicujmy to na rysunku:

To, że wartość funkcji f(x) jest mniej oddalona od L niż ε oznacza, że krzywa opisująca wykres funkcji znajduje się pomiędzy tymi czerwonymi liniami. Musimy teraz znaleźć granicę A na osi x, od której ten warunek jest spełniony. Nie musi to być najmniejsza możliwa granica, więc możemy wybrać na przykład A = 6.

Widzimy, że krzywa opisująca wykres poza granicą A znajduje się w całości pomiędzy czerwonymi liniami, które oznaczają ε-odległość od L. Teraz udowodniliśmy to dla jednego konkretnego ε, aby udowodnić, że L = 1 jest rzeczywiście granicą, musimy być w stanie udowodnić to dla wszystkich ε > 0.

Teraz musimy sprawdzić, dla których A ta relacja zachodzi:

$$x > A \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

Po osiągnięciu:

$$x > A \Rightarrow \left|\left(\frac{2}{x}+1\right) - 1\right| < \epsilon.$$

Możemy odjąć jedynki:

$$x > A \Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right| < \epsilon$$

Następnie możemy założyć, że bierzemy tylko dodatnie x (interesują nas wartości x bliskie plus nieskończoności), co pozwala nam usunąć wartość bezwzględną:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{x} < \epsilon$$

Mnożymy x:

$$x > A \Rightarrow 2 < x\cdot\epsilon$$

Dzielimy przez ε:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{\epsilon} < x$$

Dostosowując, odkryliśmy, że x musi być większa niż 2/ε. Jeśli więc wybierzemy jakąś liczbę po A, która jest większa niż 2/ε, to znajdziemy granicę, której szukaliśmy.

W poprzednim eksperymencie wybraliśmy $\epsilon=\frac12$, więc powinniśmy wybrać liczbę po A, która jest większa niż $2/\frac12=4$. Wybraliśmy A = 6, co jest w porządku.