Rozkładanie wielomianów na iloczyny

Wielomian lub wielomian można rozłożyć na iloczyn wielomianów. Wyobraźmy sobie, że mamy wielomian

$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

Stała n oznacza stopień wielomianu, czyli najwyższy wykładnik występujący w wielomianie, który nie ma współczynnika zerowego. Na przykład wielomian x³ − 4x² − 5x miałby stopień 3. Wszystkie pozostałe wykładniki są albo niższe (wykładniki 2 i 1), albo mają współczynnik zerowy. Teraz możemy powiedzieć, że jeśli znajdziemy pierwiastek k naszego wielomianu, to istnieje inny wielomian Q_{n − 1}(x), który ma stopień mniejszy i

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Brzmi to skomplikowanie, ale w rzeczywistości mówi, że jeśli znamy pierwiastek wielomianu P_n(x), to jesteśmy w stanie znaleźć inny wielomian Q_{n − 1}(x), który po pomnożeniu przez wyrażenie (x − k), otrzymamy oryginalny wielomian P_n(x), przy czym wielomian Q_{n − 1}(x) jest o jeden stopień mniejszy od wielomianu P_n(x). Gdy spojrzymy na nasz wielomian P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, widzimy, że jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba k₁ = 0 (ponieważ jeśli podstawimy zero po x w wielomianie, całe wyrażenie jest równe zero). Zatem musi być prawdą, że istnieje wielomian Q₂(x) taki, że

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Tutaj zachowamy prostotę, ponieważ x − 0 jest oczywiście równy x, więc otrzymujemy równanie:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Z oryginalnego wielomianu P₃(x) musimy tylko wyodrębnić x i otrzymamy nasz nowy wielomian Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Jest to pierwszy rozkład wielomianu na iloczyn. Udało nam się rozłożyć oryginalny wielomian x³ − 4x² − 5x na iloczyn (x − 0) razy x² − 4x − 5, który jest wielomianem niższego stopnia. Możemy jednak ponownie rozłożyć ten wielomian x² − 4x − 5 dalej. Jeśli rozwiążemy równanie kwadratowe

$$x^2-4x-5=0$$

okaże się, że pierwiastkami tego równania są liczby k₂ = 5 i k₃ = −1. Powinniśmy zatem być w stanie znaleźć wielomian Q₁(x) taki, że

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Znalezienie wielomianu Q₁(x) nie jest takie proste, możemy sobie pomóc na przykład dzieląc wielomiany. To pokaże, że wynikowy wielomian to Q₁(x) = x + 1, więc możemy napisać

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$

Pełny oryginalny wielomian P₃(x) jest równy:

$$P(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$

Jeśli rozłożymy cały wielomian w ten sposób, jesteśmy w stanie ładnie odczytać poszczególne pierwiastki. Jeśli którykolwiek z wyrazów w iloczynie jest równy zero, całe wyrażenie będzie równe zero. Z zapisu wynika zatem, że pierwiastkami wielomianu są liczby k₁ = 0, k₂ = 5 i k₃ = −1.