Hiperbola

Hiperbola jest stożkiem. Dla każdego punktu hiperboli wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch stałych punktów jest zawsze taka sama. Nawiasem mówiąc, w języku angielskim hiperbola to inna nazwa hiperboli.

Jak wygląda hiperbola

Poprzednia definicja brzmi nieco przerażająco, więc przyjrzyjmy się najpierw obrazowi hiperboli:

Zauważ, że w przeciwieństwie do innych stożków, takich jak elipsa czy parabola, hiperbola składa się z dwóch krzywych. Co oznacza poprzednia definicja? Mamy dwa ogniska, F₁ i F₂. Dla każdego punktu X na hiperboli musi zachodzić sytuacja, w której różnica |XF₁|−|XF₂| jest taka sama pod względem wartości bezwzględnej.

Na rysunku mamy dwa punkty X₁ i X₂. Dla X₁ różnica wynosi: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, w wartości bezwzględnej, a następnie otrzymujemy wynik 2. Powinniśmy otrzymać tę samą wartość dla X₂. Spróbujmy: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, w wartości bezwzględnej 2 (że długość boku X₂F₂ jest równa pięć, można obliczyć na przykład za pomocą twierdzenia Pitagorasa).

Jeśli zastosujemy tę procedurę do wszystkich punktów hiperboli, zawsze otrzymamy wynik 2.

Opis hiperboli

Spójrz na rozszerzony obraz poprzedniej hiperboli:

• Punkty F₁ i F₂ nazywane są ogniskami.
• Punkt S nazywany jest środkiem hiperboli i znajduje się w środku odcinka F₁F₂.
• Linia F₁F₂ nazywana jest osią główną hiperboli. Prostopadła do tej osi w punkcie S nazywana jest osią pomocniczą hiperboli.
• Punkty przecięcia hiperboli z osią główną nazywamy wierzchołkami hiperboli, na rysunku są to punkty A i B.
• Odcinki AS i BS nazywamy osią główną hiperboli. Ich długość oznaczamy przez a.
• Długość półosi mniejszej hiperboli oznaczamy przez b.
• Odległość ogniska od środka nazywamy mimośrodem, który oznaczamy przez e. Zależność ta jest prawdziwa:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Aby lepiej zrozumieć, skąd wzięła się długość półosi mniejszej b, spójrzmy na jeszcze jeden rysunek:

Jest to ta sama hiperbola, do której po pierwsze dodano asymptoty, którymi są dwie skrzyżowane fioletowe linie a₁, a₂ przechodzące przez środek S. Główna półoś a pozostaje niezmieniona, nadal jest to linia AS. Ale teraz wykreślamy punkt D na asymptocie, tak aby odległość |SD| była równa mimośrodowi e. Długość odcinka linii AD reprezentuje długość mniejszej półosi hiperboli. Jak widać na rysunku, jest to trójkąt prostokątny, więc możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, a tym samym z zależności

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Użyty okrąg ma swój środek na S i pokazuje tylko, że długość |F₁S| (mimośród) jest taka sama jak długość |SD|.

Równanie hiperboli

Dla hiperboli rozróżniamy dwa różne przypadki. Zależy to od tego, czy oś główna hiperboli jest równoległa do osi x, czy do y. Rozważmy hiperbolę wyśrodkowaną na S o współrzędnych [m, n].

• Oś główna jest równoległa do osi x:

Równanie:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

• Oś główna jest równoległa do osi y:

Równanie:

$$\frac{(y-n)^2}{b^2}-\frac{(x-m)^2}{a^2}=1$$