Twierdzenia Euklidesa

Starożytny aleksandryjski matematyk Euklides skomponował dwa twierdzenia dotyczące trójkątów, w szczególności dotyczące wysokości i przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Euklidesa dotyczące wysokości

Twierdzenie to działa tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Spójrzmy na podstawowe zadanie:

Mamy trójkąt ABC, bok c jest przeciwprostokątną, a odcinek v_c jest wysokością boku c. Punkt P_c dzieli bok c na dwa odcinki: oznaczamy odcinek AP_c c_b , a odcinek BP_c c_a .

Twierdzenie Euklidesa o wysokości mówi zatem, że relacja

$$ v_c^2 = c_a \cdot c_b, $$

gdzie v_c oznacza długość odcinka linii v_c itd. Innymi słowy, jeśli skonstruujemy kwadrat o boku długości v_c i prostokąt o bokach długości c_a i c_b, to figury te będą miały taką samą zawartość. Spójrz na poniższy rysunek, na którym zaznaczono właśnie taki kwadrat i prostokąt:

Twierdzenie Euklidesa o wysokości mówi, że te figury mają taką samą zawartość. Czerwony kwadrat ma bok o długości v_c, zielony prostokąt ma jeden bok o długości równej c_a, a drugi bok o długości równej c_b.

Dowód twierdzenia Euklidesa o wysokości można przeczytać w Wikipedii.

Twierdzenie Euklidesa o promieniu

To drugie twierdzenie Euklidesa obowiązuje również dla trójkąta prostokątnego. Pozostańmy przy pierwszym rysunku trójkąta:

Drugie twierdzenie mówi, że

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& c \cdot c_a\\ b^2 &=& c \cdot c_b\\ \end{eqnarray}$$

Jeśli skonstruujemy kwadrat o boku długości a, to kwadrat ten będzie miał taką samą zawartość jak prostokąt o bokach długości c i c_a. Ponownie można zobaczyć kwadrat i prostokąt:

Ponownie, dowód można znaleźć w Wikipedii.