Parabola

Parabola jest stożkową, czyli krzywą, która ma stałą odległość od danej prostej i od danego punktu, który nie znajduje się na tej prostej.

Jak wygląda parabola

Parabola jest zdefiniowana przez jeden punkt F i jedną prostą d. Wszystkie punkty X tej paraboli mają taką samą odległość od tego punktu F i od prostej d. Patrz rysunek:

• Punkt F nazywany jest ogniskiem paraboli.
• Linia d jest nazywana linią kontrolną paraboli.
• Linia FD nazywana jest osią paraboli, jest prostopadła do linii kontrolnej i przechodzi przez ognisko.
• Punkt V nazywany jest wierzchołkiem par aboli i znajduje się w środku prostej FD.
• Długość odcinka linii FD nazywana jest parametrem paraboli. Jest to odległość punktu centralnego od linii kontrolnej.

Zauważ również na rysunku, że prawdą jest, że odległość punktu paraboli od linii i od ogniska jest zawsze taka sama. Na przykład dla wierzchołka V, odległość od ogniska |VF| jest taka sama jak odległość od prostej |VD|. Podobnie jest w przypadku punktu X, który jest zaznaczony na rysunku. Odległość |XF| jest taka sama jak odległość |XE|.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej.

Równanie paraboli

Istnieją cztery różne przypadki paraboli. Jak zorientowana jest oś paraboli, tj. czy oś jest pionowa (równoległa do osi y), jak na pierwszym rysunku, czy też oś jest pozioma (równoległa do osi x). Następnie rozróżniamy przypadek, w którym parabola jest ograniczona od dołu lub od góry oraz "od lewej" lub "od prawej". Niech parabola ma wierzchołek V o współrzędnych [m, n].

• Pierwszy przypadek: Parabola ma oś równoległą do y i jest ograniczona od dołu. Zachodzi dla niej następujące równanie:

  $$(x-m)^2=2p(y-n)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left[m, n+\frac{p}{2}\right]$$

• Drugiprzypadek: Parabola ma oś równoległą do osi y i jest ograniczona od góry. Zachodzi dla niej następujące równanie:

  $$(x-m)^2=-2p(y-n)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left[m,n-\frac{p}{2}\right]$$

• Trzeciprzypadek: Parabola ma oś równoległą do osi x i jest ograniczona "od lewej". Dla niej zachodzi następujące równanie:

  $$(y-n)^2=2p(x-m)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left[m+\frac{p}{2},n\right]$$

• Przypadekczwarty: Parabola ma oś równoległą do osi x i jest ograniczona "od prawej". Dla niej zachodzi następujące równanie:

  $$(y-n)^2=-2p(x-m)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left[m-\frac{p}{2},n\right]$$