Elipsa

Elipsa jest stożkową. Podstawową własnością elipsy jest to, że każdy punkt na elipsie ma taką samą sumę odległości od dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie. Punkty te nazywane są ogniskami.

Jak wygląda elipsa

Biorąc pod uwagę dwa punkty - E i F, ogniska elipsy to e. Dla każdego punktu X elipsy e musi zachodzić zależność

$$|XE|+|XF|=K,$$

gdzie K jest pewną stałą liczbą. Liczba ta jest więc taka sama dla wszystkich punktów elipsy. W przypadku E = F otrzymujemy okrąg i zachodzi zależność, że |XE|+|XF| jest równe średnicy okręgu (lub |XE| musi być promieniem okręgu). Obraz elipsy:

Równa suma odległości od ognisk oznacza, że suma |EK|+|FK| musi być taka sama jak suma |EL|+|FL| i taka sama dla wszystkich innych punktów znajdujących się na elipsie.

Opis i właściwości elipsy

• Elipsa ma dwa ogniska, oznaczmy je jako E i F.
• Elipsa zawiera dwa główne wierzchołki, A i B, oraz dwa mniejsze wierzchołki, C i D.
• Środek elipsy, wierzchołek S na rysunku, leży w środku odcinka linii EF, pomiędzy ogniskami.
• Linia przechodząca przez główne wierzchołki (a także przez ogniska) nazywana jest osią główną elipsy, a linia przechodząca przez pomniejsze wierzchołki nazywana jest osią pomocniczą elipsy.
• Linia łącząca dowolny główny wierzchołek ze środkiem elipsy nazywana jest główną półosią. Na rysunku są to linie AS i BS.
• Linia łącząca dowolny mniejszy punkt ze środkiem elipsy nazywana jest półosią mniejszą. Na rysunku są to linie CS i DS.
• Stała K, która jest równa sumie długości punktów łączących elipsę z ogniskami, jest równa długości odcinka linii AB. Warto to zauważyć, jeśli chcemy obliczyć sumę dla punktu B. Dla punktu suma wynosi: |FB|+|EB|. Odcinek linii EB obejmuje prawie cały odcinek linii AB, a pozostała część, odcinek linii AE, ma taką samą długość jak odcinek linii FB. Zatem |FB|+|EB| = |AB|.

Mimośród elipsy

Inną ważną stałą w elipsie jest mimośród, oznaczany jako e, lub ekscentryczność. Mimośród jest równy odległości ognisk od środka elipsy, tj. e = |ES| = |FS|. Jak możemy obliczyć mimośród? Najpierw ustalamy, jaka jest odległość |ED| i |FD|.

Wiemy, że suma odcinków K jest równa długości odcinka |AB|. Z rysunku wynika jednak, że odcinki ED i FE będą tej samej długości, ponieważ linia CD jest osią elipsy. Zatem długość tych dwóch odcinków będzie równa połowie długości |AB|, która jest długością głównej półosi elipsy. Jeśli oznaczymy długość głównej półosi jako a, a długość mniejszej półosi jako b, otrzymamy rysunek:

Mimośród można następnie wyrazić za pomocą twierdzenia Pitagorasa jako

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Im bardziej elipsa jest podobna do okręgu, tj. im mniej jest spłaszczona, tym mniej jest mimośrodowa.

Równanie elipsy

Jak wyprowadzić równanie elipsy? Pierwszą rzeczą, której potrzebujemy, jest ładna elipsa, więc wybieramy elipsę, której osie główna i pomocnicza są równoległe do osi x i y, a środek elipsy znajduje się w początku układu współrzędnych, tj. ma współrzędne [0, 0]. Przykładowo, taka elipsa wygląda następująco:

Pytanie brzmi, jak ogólnie wyrazić punkt X, który na rysunku zaznaczono na niebiesko. Z definicji elipsy wiemy, że musi zachodzić następująca zależność:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Ponieważ długość odcinka AB jest równa podwojonej długości osi głównej a, możemy napisać:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Następnie musimy jakoś wyrazić długość odcinków EX i FX. Zaczynamy od odcinka FX. Narysujmy jeszcze dwie linie na rysunku, aby utworzyć trójkąt prostokątny.

Punkt X ma współrzędne [x, y], więc długość odcinka PX jest równa y- współrzędnej punktu X, czyli |PX| = y. Długość odcinka PF jest równa |e − x|. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, musi to zachodzić:

$$|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}$$

Podobnie jak wyraziliśmy |FX| wyrażamy |EX|. Długość PX będzie taka sama, ponownie y, a długość PE będzie równa x + e. Otrzymujemy:

$$|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}$$

Wstawiamy te nowe wyrażenia do poprzedniego równania:

$$\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a$$

Teraz należy wprowadzić wiele poprawek, aż w końcu otrzymamy ładny kształt:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Jednak to równanie zakłada elipsę ze środkiem w punkcie początkowym. Aby uzyskać bardziej ogólne równanie, musimy uwzględnić w równaniu współrzędne środka elipsy. Elipsa o środku w [m, n] ma równanie:

Jeśli oś główna jest równoległa do osi x:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Jeśli oś główna jest równoległa do osi y:

$$\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1$$

Przykład: aby przekonać się, że równanie faktycznie działa, spróbuj wstawić punkt X z rysunku. Dla rysunku, a = 5, b = 4 i X = [2,31; 3,55] mają zastosowanie (współrzędne punktu są zaokrąglone, musimy również zaokrąglić wynik na końcu). Po podstawieniu lewej części równania otrzymujemy:

$$\frac{2{,}31^2}{5^2}+\frac{3{,}55^2}{4^2}=\frac{5{,}3361}{25}+\frac{12{,}6025}{16}=0{,}213444+0{,}78765625\approx1$$

Otrzymaliśmy w ten sposób równość 1 = 1.