Forma goniometryczna liczby zespolonej
Kapitoly: Liczby zespolone, Graficzna reprezentacja liczb zespolonych, Postać goniometryczna liczby zespolonej
Nie zawsze warto mieć liczbę zesp oloną w postaci algebraicznej, dlatego nadal wprowadza się postać goniometryczną liczby zespolonej.
Jak można wyrazić punkt na płaszczyźnie?
Wiemy, że w kategoriach geometrycznych liczba zespolona z = x + yi reprezentuje punkt na płaszczyźnie Gaussa. Punkt ten ma współrzędne [x, y]. W jaki inny sposób możemy zdefiniować punkt z poza podaniem współrzędnych [x, y]?
Możemy obliczyć kąt, jaki linia punktu z i początku tworzy z osią x (lub jej dodatnią półosią). To pozwoli nam dowiedzieć się, w którym kierunku punkt z leży od początku. Aby dowiedzieć się, gdzie dokładnie leży, musimy jeszcze znać odległość od początku. Dzięki tym dwóm informacjom jesteśmy teraz w stanie precyzyjnie zdefiniować punkt z na płaszczyźnie Gaussa.
Kształt goniometryczny
Poniższy rysunek podsumowuje to, co musimy wiedzieć, aby wyrazić liczbę zespoloną w postaci goniometrycznej:
Jak widać, musimy znać długość prostej od punktu z do początku, która jest równa wartości bezwzględnej liczby z - możemy to już obliczyć. Musimy również znać kąt $\varphi$. Postać goniometryczna liczby zespolonej wygląda następująco:
$$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$
Jak znaleźć kąt $\varphi$? Używamy do tego funkcji goniometrycznej. Mamy tutaj trójkąt prostokątny i znamy długość przeciwprostokątnej, czyli wartość bezwzględną liczby z. W postaci goniometrycznej mamy zarówno sinus, jak i cosinus, więc musimy wyrazić kąt $\varphi$ za pomocą obu funkcji. Z właściwości funkcji goniometrycznych wynika jednak, że:
$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{y}{|z|}\\ \cos\varphi&=&\frac{x}{|z|} \end{eqnarray}$$
Z tych wzorów możemy wyprowadzić sam kąt $\varphi$. Wyprowadzenie kąta jest konieczne, ponieważ zapisujemy postać goniometryczną z uwzględnieniem sinusa i cosinusa.
Przykład
Przekształcenie liczby zespolonej w postaci algebraicznej do postaci goniometrycznej: $z=\sqrt{3}+i$ Pierwszą rzeczą, jaką robimy, jest obliczenie wartości bezwzględnej liczby z, która jest równa :
$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$
Teraz:
$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{1}{2}\\ \cos\varphi&=&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$$
W tym momencie możemy albo użyć kalkulatora do obliczenia arcus sinus i arcus cosinus, albo skorzystać z tabeli podstawowych wzorów goniometrycznych. Obie uzyskane przez nas wartości są tabelaryczne, więc w tym przypadku nie będziemy używać kalkulatora.
Jeśli $\sin\varphi=\frac12$, to kąt $\varphi$ jest równy albo π/6 albo 5π/6. Jeśli $\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$, to kąt $\varphi$ jest równy albo π/6 albo 11π/6. Przecięcie tych możliwości to kąt π/6, używając tego kąta otrzymujemy wartości, które zapisaliśmy w poprzednim równaniu.
Mnożenie i dzielenie
Liczby zespolone możemy oczywiście mnożyć i dzielić w postaci goniometrycznej. Korzystając ze wzorów na sumę goniometryczną, możemy wyprowadzić wzory na iloczyn i iloraz dwóch liczb zespolonych. Rozważmy dwie liczby zespolone z1 i z2:
$$\begin{eqnarray} z_1&=&|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\ z_2&=&|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \end{eqnarray}$$
Same wzory wyglądają następująco:
$$\begin{eqnarray} z_1\cdot z_2&=&|z_1|\cdot|z_2|\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\\ \frac{z_1}{z_2}&=&\frac{|z_1|}{|z_2|}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right] \end{eqnarray}$$