Graficzna reprezentacja liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być również reprezentowane w klasycznym kartezjańskim układzie współrzędnych. Płaszczyzna, na której reprezentujemy liczby zespolone, nazywana jest płaszczyzną liczb zespolonych lub płaszczyzną Gaussa.

Reprezentacja na płaszczyźnie Gaussa

Każda liczba zespolona z = x + yi jest reprezentowana na płaszczyźnie przez punkt o współrzędnych [x, y]. Oś x jest nazywana osią liczb rzeczywistych na płaszczyźnie Gaussa, a oś y jest nazywana osią liczb urojonych. Mamy więc dwie liczby zespolone, z₁ = 2 + 5i i z₂ = 4 − 3i. Na płaszczyźnie gaussowskiej przedstawilibyśmy je w następujący sposób:

Odwrotność i liczba zespolona

Liczby odwrotne i zespolone możemy łatwo wykreślić na płaszczyźnie Gaussa. Rozważmy liczbę zespoloną z = 3 + 5i. Odwrotność liczby z, która ma postać −3 − 5i, jest symetryczna względem początku płaszczyzny Gaussa:

W przypadku liczby zespolonej znak części urojonej zmienia się, więc liczba zespolona będzie osiowo symetryczna z liczbą oryginalną wzdłuż osi rzeczywistej (osi x). Zobacz rysunek ($z^\prime$ oznacza liczbę zespoloną):

Wartość bezwzględna

W dziedzinie liczb rzeczywistych wartość bezwzględna reprezentuje dodatnią wersję danej liczby. W przypadku liczb zespolonych wartość bezwzględną obliczamy w nieco bardziej skomplikowany sposób. Wynika to z faktu, że wartość bezwzględna liczby zespolonej reprezentuje odległość punktu na płaszczyźnie Gaussa od jego początku.

Odległość od początku możemy obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, które mówi nam, że |z|² = x² + y², gdzie x i y są rzeczywistymi i urojonymi częściami liczby zespolonej. Następnie możemy uzyskać wartość bezwzględną z = x + yi przez pierwiastek kwadratowy:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$