Uzupełnianie kwadratu

Korzystając z metody dodawania do kwadratu, możemy wyrazić funkcję kwadratową ax² + bx + c w postaci (x + m)² + n.

Algorytm podnoszenia do kwadratu

Algorytm wykorzystuje klasyczny wzór na rozszerzanie nawiasów:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Procedura jest następująca. Załóżmy, że mamy funkcję kwadrat ową a = 1. Załóżmy, że mamy funkcję kwadratową f(x) = x² + 6x + 1 i chcemy przekształcić ją do postaci (x + m)² + n. Pierwszą rzeczą, którą robimy, jest określenie wartości z pierwszego nawiasu: (x + m)² Jaką liczbę musimy wstawić po m? Zgodnie ze wzorem, równość (x + m)² = x² + 2mx + m² musi być zachowana. W funkcji f mamy x², to dobrze. Ale w miejscu wyrażenia liniowego mamy 6x. Jaką wartość musimy wybrać po m, aby 6x = 2mx było prawidłowe? Oczywiście m = b/2 = 6/2 = 3 musi być prawidłowe. Dlatego zawsze umieszczamy połowę wartości b z funkcji kwadratowej po m.

W ten sposób otrzymujemy postać (x + 3)² − n. Pozostaje określić liczbę n. Teraz wiemy, że liczba (x + m)² = x² + 2mx + m² jest prawidłowa. Część x² + 2mx jest poszukiwana, ale wyrażenie m² pozostało, nie ma odpowiednika w funkcji f. Dlatego odejmujemy m² od bieżącego wyniku, aby uzyskać postać (x + m)² − m², która po pomnożeniu jest równa x² + 2mx + m² − m². Po odjęciu mamy tylko x² + 2mx.

Ale w funkcji f nadal mamy wyrażenie bezwzględne c. Po prostu je dodajemy. Otrzymujemy postać (x + m)² − m² + c, po pomnożeniu x² + 2mx + m² − m² + c i po uproszczeniu x² + 2mx + c. Ponieważ m = b/2, to wyrażenie jest równe x² + bx + c, więc po pomnożeniu wyrażenia (x + m)² − m² + c otrzymujemy z powrotem oryginalną funkcję, którą obliczyliśmy poprawnie. (Powtarzam, że a = 1, nigdzie go nie brakuje).

Tak więc dla przykładowej funkcji f otrzymujemy wyrażenie w postaci kwadratu (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Możemy spróbować pomnożyć je z powrotem:

$$\begin{eqnarray} (x+3)^2-8&=&x^2+6x+9-8\\ &=&x^2+6x+1 \end{eqnarray}$$

Metoda dodawania kwadratowego jest stosowana na przykład, gdy chcemy narysować wykres funkcji kwadratowej.

Gdy a≠1

W przypadku, gdy mamy funkcję, dla której nie jest prawdą, że a = 1, postępujemy poprzez wykreślenie całej funkcji z liczbą a i postępujemy tak, jak już wiemy. Przykład:

$$2x^2+16x-12=0$$

Wypisujemy dwójkę z całej funkcji:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=0$$

Możemy już przekonwertować funkcję wewnątrz nawiasów na kwadrat.

$$x^2+8x-6=(x+4)^2-16-6=(x+4)^2-22$$

Podłączamy ten wynik do poprzedniego równania, aby uzyskać:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=2\left((x+4)^2-22\right)=2(x+4)^2-44$$