Logika zdań

Logika propozycjonalna (matematyczna) jest sposobem wyrażania matematyki, który można napotkać w różnych terminologiach i we wszelkiego rodzaju twierdzeniach matematycznych.

Do czego służy logika?

Logika to nauka zajmująca się wnioskowaniem, prawdą, możliwością udowodnienia i obalenia. Jednak w logice chodzi o formę przekazu; nie interesuje nas to, co jest komunikowane, podobnie jak nie interesują nas różne interpretacje psychologiczne i tym podobne.

Na przykład, jeśli mamy zdanie "liczba 2 jest zarówno parzysta, jak i nieparzysta", możemy dojść do wniosku, że całe zdanie nie jest prawdziwe, ponieważ liczba 2 nie jest nieparzysta. Są to rzeczy, którymi na ogół zajmuje się logika.

Twierdzenie

Podstawą logiki zdań jest oczywiście twierdzenie. Twierdzenie to dowolne zdanie oznajmujące, dla którego możemy określić jego wartość prawdziwościową. Przykłady prostych stwierdzeń:

• Bill Gates był najbogatszym człowiekiem na świecie.
• Liczba naturalna pięć jest liczbą nieparzystą.
• HTML jest językiem programowania.
• Dwa plus trzy to sześć.

Wszystkie te stwierdzenia są prawdziwe. Albo są prawdziwe (dwa pierwsze), albo fałszywe (dwa ostatnie). Stwierdzeniem nie jest na przykład zdanie pytające lub zdanie, dla którego nie możemy jednoznacznie określić jego wartości prawdziwościowej. Przykład:

• Czy w przyszłym roku Bill Gates nadal będzie najbogatszym człowiekiem na świecie?
• Kolor zielony jest najpiękniejszy.

Pierwsze zdanie nie może być stwierdzeniem, ponieważ jest zdaniem pytającym, a dla drugiego zdania nie możemy określić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe. Takie zdanie nazywamy hipotezą (przypuszczeniem).

Klasyczna logika matematyczna nie radzi sobie zbyt dobrze z niejasnymi zdaniami, takimi jak "Honza jest wysoki" lub "Britney Spears jest dobrą piosenkarką". Z takimi stwierdzeniami lepiej radzi sobie na przykład logika rozmyta, która jest dostosowana do niejasności.

Stwierdzenie atomowe

W pierwszym rozdziale mieliśmy przykład stwierdzenia "liczba 2 jest zarówno parzysta, jak i nieparzysta". Takie stwierdzenie możemy nazwać stwierdzeniem złożonym, ponieważ w rzeczywistości łączy ono dwa krótsze stwierdzenia: "liczba 2 jest parzysta" i "liczba 2 jest nieparzysta". Te dwa stwierdzenia są następnie połączone spójnikiem "and" lub "and at the same time".

Stwierdzenie atomowe jest zatem stwierdzeniem, którego nie możemy już podzielić, jest to w pewnym sensie najprostsze stwierdzenie. Poprzednie przykłady stwierdzeń były w rzeczywistości stwierdzeniami atomowymi:

• Bill Gates był najbogatszym człowiekiem na świecie.
• Liczba naturalna pięć jest liczbą nieparzystą.
• HTML jest językiem programowania.
• Dwa plus trzy to sześć.

Stwierdzenia atomowe będą odtąd oznaczane małymi literami alfabetu, klasycznie p, q, r, …, i będą nazywane symbolami propozycjonalnymi.

Łączniki wypowiedzi

Logika matematyczna powszechnie operuje pewnym zestawem spójników zdaniowych. Do podstawowych należą cztery spójniki binarne:

• p ∧ q to koniunkcja zdań, czyli "zdanie p i (jednocześnie) zdanie q"
• p ∨ q jest dysjunkcją stwierdzeń, czytamy "stwierdzenie p lub stwierdzenie q"
• $p \Rightarrow q$ jest implikacją, czytamy "jeśli stwierdzenie p, to stwierdzenie q"
• p ⇔ q jest równoważnością, czytamy "stwierdzenie p tylko jeśli stwierdzenie q".

Konkretne przykłady spójników zdaniowych:

• W centrum Opawy pada deszcz i jednocześnie świeci słońce. (koniunkcja)
• W centrum Opawy pada deszcz lub świeci słońce. (dysjunkcja)
• Apple jest najfajniejszą firmą, a Steve Jobs jest największym kolesiem.
• Jeśliweźmiesz środek przeczyszczający , wkrótce usiądziesz... (implikacja)
• Jeśli liczba x jest podzielna przez cztery, to jest podzielna przez dwa. (implikacja)
• Agata jest zarówno ładna, jak i inteligentna.
• Piosenkarki odnoszą sukcesy , gdy są ładne (równoważność).
• Jeśli nie będzie padać, to nie zmokniemy. (implikacja)
• Jeśli Leoš Mareš potrafi śpiewać, to ja jestem chińskim bogiem zabawy (implikacja).

Znamy jeszcze jeden popularny spójnik zdaniowy: negację. Negacja jest oznaczana przecinkiem $p^\prime$ lub symbolem $\neg p$.

Formuła

Używając symboli zdaniowych (zdań atomowych) i spójników zdaniowych, możemy utworzyć bardziej złożone zdanie, które nazwiemy formułą. Wszystkie przykłady z poprzedniej listy zdań były w rzeczywistości formułami, ponieważ mieliśmy dwie formuły atomowe, na przykład "W centrum Opawy pada deszcz" i "Świeci słońce", i połączyliśmy je za pomocą spójników zdaniowych. W pierwszym przypadku połączyliśmy je spójnikiem "i jednocześnie" i otrzymaliśmy formułę "W centrum Opawy pada deszcz i jednocześnie świeci słońce", w drugim przypadku użyliśmy spójnika "lub" i otrzymaliśmy formułę "W centrum Opawy pada deszcz lub świeci słońce".

Formalnie definiujemy formułę w następujący sposób:

• Każdy symbol propozycjonalny (propozycja atomowa) jest formułą (dokładniej, możemy powiedzieć, że jest to formuła atomowa).
• Jeśli A i B są formułami, to $\neg A$, (A ∧ B), (A ∨ B), $(A \Rightarrow B)$, (A ⇔ B) są również formułami.

Definicja ma sens: w pierwszym punkcie mówimy, że każde stwierdzenie atomowe jest również formułą. Jeśli więc mamy dwa stwierdzenia atomowe, na przykład "W centrum Opawy pada deszcz" i "Świeci słońce", to mamy również dwie formuły. W tym momencie możemy zastosować drugi punkt i skonstruować bardziej złożoną formułę, taką jak ta:

• W centrum Opawy pada deszcz i jednocześnie świeci słońce.
• W centrum Opawy pada deszcz lub świeci słońce.
• Jeśli słońce świeci w centrum Opawy, to pada deszcz.
• Słońce świeci w centrum Opawy, gdy pada deszcz.

Oczywiście formuły te niekoniecznie są prawdziwe. W tej chwili mamy inny zestaw formuł, więc możemy tworzyć jeszcze bardziej skomplikowane formuły. Jeśli zaznaczymy A="Słońce świeci w centrum Opawy lub pada deszcz." (wiemy już, że jest to formuła) i B="tęcza jest widoczna" (załóżmy ponownie, że jest to w centrum Opawy, więc nie musimy powtarzać tego w kółko), wtedy możemy stworzyć więcej formuł. Nawiasy w zdaniach wskazują tylko, do których części odnosi się spójnik.

• A ∧ B: (W centrum Opawy świeci słońce lub pada deszcz) i jednocześnie (widać tęczę).
• A ∨ B: (W centrum Opawy świeci słońce lub pada deszcz) lub (można zobaczyć tęczę).
• $A \Rightarrow B$: (Jeśli słońce świeci lub pada w centrum Opawy), to (widać tęczę).
• A ⇔ B: (Słońce świeci lub pada w centrum Opawy) właśnie wtedy, gdy (tęcza jest widoczna).

To wszystko są formuły. Możemy więc wziąć jedną z tych formuł i dodać do niej inną formułę. Możemy więc utworzyć patvar typu "Jeśli słońce świeci lub pada deszcz lub tęcza jest widoczna w centrum Opawy, to słońce świeci lub pada deszcz tylko wtedy, gdy widoczna jest tęcza".

W następnej sekcji zbadamy prawdziwość formuł.